Verificar quais das aplicações de R^3 em R^3 são operadores lineares :
e) F(x, y, z)=(x+y, y+z, z+x)

Passo 1

Vamos dar uma olhada no problema que você trouxe! Precisamos verificar se a aplicação definida por é um operador linear. Isso envolve entender o que é um operador linear e como podemos testar se uma função atende a essas propriedades.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um operador linear. Uma aplicação é linear se, para quaisquer vetores e em e para qualquer escalar , as seguintes condições são satisfeitas:
  1. Aditividade:
  2. Homogeneidade:
Vamos verificar cada uma dessas propriedades para a função .

Passo 3

Verificando a Aditividade:
Vamos considerar dois vetores quaisquer em F(u + v) = ( (x1 + x2) + (y1 + y2), (y1 + y2) + (z1 + z2), (z1 + z2) + (x1 + x2) ) :
F(u + v) = (x1 + y1 + x2 + y2, y1 + z1 + y2 + z2, z1 + x1 + z2 + x2)
F(u) = (x1 + y1, y1 + z1, z1 + x1)
Primeiro, calculamos F(v) = (x2 + y2, y2 + z2, z2 + x2) .
Agora, aplicando F(u) + F(v) = (x1 + y1 + x2 + y2, y1 + z1 + y2 + z2, z1 + x1 + z2 + x2) :
F(u + v) = F(u) + F(v)
Simplificando:
Agora, calculamos :
Somando:
Observamos que:
Portanto, a aplicação satisfaz a propriedade de aditividade.

Passo 4

Verificando a Homogeneidade:
Vamos considerar um vetor F(cu) = F(cx, cy, cz) = (cx + cy, cy + cz, cz + cx) e um escalar F(cu) = (c(x + y), c(y + z), c(z + x)) .
Primeiro, calculamos F(cu) = c(x + y, y + z, z + x) = cF(u) .
Agora, aplicando F(cu) = cF(u) :
Simplificando:
Portanto:
A aplicação também satisfaz a propriedade de homogeneidade.

Resposta

Como a aplicação satisfaz tanto a aditividade quanto a homogeneidade, podemos concluir que é um operador linear.

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