Verificar quais das aplicações de
em
são operadores lineares :
e)
e)
Passo 1
Vamos dar uma olhada no problema que você trouxe! Precisamos verificar se a aplicação
definida por
é um operador linear. Isso envolve entender o que é um operador linear e como podemos testar se uma função atende a essas propriedades.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um operador linear. Uma aplicação
é linear se, para quaisquer vetores
e
em
e para qualquer escalar
, as seguintes condições são satisfeitas:
- Aditividade:
- Homogeneidade:
Vamos verificar cada uma dessas propriedades para a função
.
Passo 3
Verificando a Aditividade:
Vamos considerar dois vetores quaisquer em
:
Primeiro, calculamos
.
Agora, aplicando
:
Simplificando:
Agora, calculamos
:
Somando:
Observamos que:
Portanto, a aplicação
satisfaz a propriedade de aditividade.
Passo 4
Verificando a Homogeneidade:
Vamos considerar um vetor
e um escalar
.
Primeiro, calculamos
.
Agora, aplicando
:
Simplificando:
Portanto:
A aplicação
também satisfaz a propriedade de homogeneidade.
Resposta
Como a aplicação
satisfaz tanto a aditividade quanto a homogeneidade, podemos concluir que
é um operador linear.
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Verificar quais das aplicações de
em
são operadores lineares :
c)
c)
Verificar se as aplicações são transformações lineares:
e) definida por
e)
Verificar quais das aplicações de
em
são operadores lineares.
c)
c)
Determinar uma base e a dimensão do núcleo e da imagem das seguintes transformações lineares:
d) definido por
e
d)