Verificar quais das aplicações de
em
são operadores lineares :
f)
f)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente verificar se a aplicação
, definida por
, é um operador linear. Pra isso, vamos precisar entender o que é um operador linear e quais propriedades ele precisa satisfazer.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa que uma função é um operador linear. Uma função
é linear se ela satisfaz duas propriedades principais:
- Aditividade:
para quaisquer vetores e . - Homogeneidade (ou multiplicação por escalar):
para qualquer escalar e vetor .
Vamos verificar essas duas propriedades para a nossa função
.
Passo 3
Verificando a aditividade:
Sejam dois vetores quaisquer em
:
e
.
Calculando
:
Calculando
:
Como
, a propriedade da aditividade está satisfeita.
Passo 4
Verificando a homogeneidade:
Seja um escalar
e um vetor
.
Calculando
:
Calculando
:
Como
, a propriedade da homogeneidade também está satisfeita.
Resposta
Como a função
satisfaz tanto a aditividade quanto a homogeneidade, ela é um operador linear.
Exercícios relacionados
Determinar uma base e a dimensão do núcleo e da imagem das seguintes transformações lineares:
d) definido por
e
d)
Verificar quais das aplicações de
em
são operadores lineares.
c)
c)
Encontre
, tal que
.
Verificar quais das aplicações de
em
são operadores lineares.
d)
d)