Verificar quais das aplicações de R^3 em R^3 são operadores lineares :
f) F(x, y, z)=(z, 0, x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente verificar se a aplicação , definida por , é um operador linear. Pra isso, vamos precisar entender o que é um operador linear e quais propriedades ele precisa satisfazer.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa que uma função é um operador linear. Uma função é linear se ela satisfaz duas propriedades principais:
  1. Aditividade: para quaisquer vetores e .
  2. Homogeneidade (ou multiplicação por escalar): para qualquer escalar e vetor .
Vamos verificar essas duas propriedades para a nossa função .

Passo 3

Verificando a aditividade:
Sejam dois vetores quaisquer em F(u + v) = F(x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2) = (z1 + z2, 0, x1 + x2) : F(u) + F(v) = (z1, 0, x1) + (z2, 0, x2) = (z1 + z2, 0 + 0, x1 + x2) = (z1 + z2, 0, x1 + x2) e .
Calculando :
Calculando :
Como , a propriedade da aditividade está satisfeita.

Passo 4

Verificando a homogeneidade:
Seja um escalar F(cu) = F(cx, cy, cz) = (cz, 0, cx) e um vetor cF(u) = c(z, 0, x) = (cz, 0, cx) .
Calculando :
Calculando :
Como , a propriedade da homogeneidade também está satisfeita.

Resposta

Como a função satisfaz tanto a aditividade quanto a homogeneidade, ela é um operador linear.

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