Então, a gente tem um exercício de Álgebra Linear onde precisamos encontrar uma transformação linear . A parada é que a imagem dessa transformação tem que ser gerada pelos vetores e . Ou seja, qualquer coisa que a gente aplique com no precisa ficar dentro desse espaço gerado por esses dois vetores. Pra resolver isso, vamos precisar entender como construir uma matriz que faça isso acontecer.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear de para pode ser representada por uma matriz de tamanho . Isso porque cada coluna da matriz corresponde à imagem dos vetores da base de sob a transformação .
Passo 3
Como a imagem de precisa ser gerada pelos vetores e , vamos usar esses vetores como colunas da matriz . Assim, teremos:
Passo 4
Agora, vamos verificar se essa matriz realmente gera a imagem desejada. Qualquer vetor x1 x2 pode ser escrito como T(x) = Ax = 1 & 0 1 & 1 1 & 0 x1 x2 = 1 cdot x1 + 0 cdot x2 1 cdot x1 + 1 cdot x2 1 cdot x1 + 0 cdot x2 = x1 x1 + x2 x1 . Aplicando a matriz , temos:
[
T(\mathbf{x}) = A\mathbf{x} =
]
Passo 5
Vemos que qualquer imagem de é uma combinação linear dos vetores e , confirmando que está de fato no espaço gerado por esses vetores.
Resposta
A transformação linear T = 1 & 0 1 & 1 1 & 0 que satisfaz as condições do exercício é dada pela matriz: