Encontre T: R^2 R^3, tal que Im(T)=[(1,1,1),(0,1,0)].

Passo 1

Então, a gente tem um exercício de Álgebra Linear onde precisamos encontrar uma transformação linear . A parada é que a imagem dessa transformação tem que ser gerada pelos vetores e . Ou seja, qualquer coisa que a gente aplique com no precisa ficar dentro desse espaço gerado por esses dois vetores. Pra resolver isso, vamos precisar entender como construir uma matriz que faça isso acontecer.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear de para pode ser representada por uma matriz de tamanho . Isso porque cada coluna da matriz corresponde à imagem dos vetores da base de sob a transformação .

Passo 3

Como a imagem de A = 1 & 0 1 & 1 1 & 0 precisa ser gerada pelos vetores e , vamos usar esses vetores como colunas da matriz . Assim, teremos:

Passo 4

Agora, vamos verificar se essa matriz realmente gera a imagem desejada. Qualquer vetor x1 x2 pode ser escrito como T(x) = Ax = 1 & 0 1 & 1 1 & 0 x1 x2 = 1 cdot x1 + 0 cdot x2 1 cdot x1 + 1 cdot x2 1 cdot x1 + 0 cdot x2 = x1 x1 + x2 x1 . Aplicando a matriz , temos:

[
T(\mathbf{x}) = A\mathbf{x} =


]

Passo 5

Vemos que qualquer imagem de é uma combinação linear dos vetores e , confirmando que está de fato no espaço gerado por esses vetores.

Resposta

A transformação linear T = 1 & 0 1 & 1 1 & 0 que satisfaz as condições do exercício é dada pela matriz:

Exercícios relacionados

Verificar quais das aplicações de R^3 em R^3 são operadores lineares :
f) F(x, y, z)=(z, 0, x)
Determinar uma base e a dimensão do núcleo e da imagem das seguintes transformações lineares:
d) F: M2(R)-M2(R) definido por F(X)=MX, forall X in M2(R) e M=(cc1 & 0 2 & -1)
Verificar quais das aplicações de R^2 em R^2 são operadores lineares.
d) F(x, y)=(0, x-y)
Verificar quais das aplicações de R^2 em R^2 são operadores lineares.
e) F(x, y)=(x+1, y+1)