Se verdadeiro prove, caso contrário dê um contraexemplo: Se
é uma transformação linear, então
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma transformação linear
. A questão afirma que o dim(V) é maior que a soma das dimensões do núcleo de
(
) e da imagem de
(
). O conteúdo envolvido aqui é a Teoria das Transformações Lineares e, mais especificamente, o Teorema do Núcleo e da Imagem. Para resolver, vamos precisar entender esses conceitos e verificar se a afirmação é verdadeira ou falsa.
Passo 2
Vamos relembrar o Teorema do Núcleo e da Imagem, que diz que para qualquer transformação linear
,
Isso significa que a dimensão do espaço de partida
é igual à soma da dimensão do núcleo de
(os vetores que são enviados para zero) e da dimensão da imagem de
(os vetores que podem ser alcançados por
).
Passo 3
A questão propõe que:
Comparando isso com o Teorema do Núcleo e da Imagem, vemos que o teorema diz que a soma é exatamente igual a
, não maior. Portanto, a afirmação da questão está dizendo que
é maior, o que contraria o teorema.
Passo 4
Para provar que a afirmação é falsa, podemos fornecer um contraexemplo. Vamos considerar espaços vetoriais simples onde conhecemos as dimensões e ver se a desigualdade se mantém.
Passo 5
Considere a transformação linear
dada por:
Essa é a transformação identidade, que mapeia cada vetor para ele mesmo.
Passo 6
Vamos calcular
:
Então,
.
Passo 7
Agora, vamos calcular
:
Então,
.
Passo 8
Agora, somamos as dimensões:
E verificamos
.
Passo 9
A afirmação inicial dizia que
. No nosso exemplo:
Portanto, a afirmação é falsa.
Resposta
A afirmação é falsa. Um contraexemplo é a transformação identidade
, onde
.
Exercícios relacionados
Determinar a matriz das coordenadas do vetor
em relação à base
do
e faça a interpretação geométrica.
Determinar uma base e a dimensão do núcleo e da imagem da transformação linear
.
Se verdadeiro prove, caso contrário dê um contraexemplo: A aplicação
é uma transformação linear.
Se
e
, determine
.