Se verdadeiro prove, caso contrário dê um contraexemplo: Se T: V U é uma transformação linear, então dim(V)>dim(N(T))+dim(Im T)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma transformação linear . A questão afirma que o dim(V) é maior que a soma das dimensões do núcleo de ( ) e da imagem de ( ). O conteúdo envolvido aqui é a Teoria das Transformações Lineares e, mais especificamente, o Teorema do Núcleo e da Imagem. Para resolver, vamos precisar entender esses conceitos e verificar se a afirmação é verdadeira ou falsa.

Passo 2

Vamos relembrar o Teorema do Núcleo e da Imagem, que diz que para qualquer transformação linear dim(V) = dim(ker(T)) + dim(Im T) ,
Isso significa que a dimensão do espaço de partida é igual à soma da dimensão do núcleo de (os vetores que são enviados para zero) e da dimensão da imagem de (os vetores que podem ser alcançados por ).

Passo 3

A questão propõe que:
dim(V) > dim(ker(T)) + dim(Im T)
Comparando isso com o Teorema do Núcleo e da Imagem, vemos que o teorema diz que a soma é exatamente igual a , não maior. Portanto, a afirmação da questão está dizendo que é maior, o que contraria o teorema.

Passo 4

Para provar que a afirmação é falsa, podemos fornecer um contraexemplo. Vamos considerar espaços vetoriais simples onde conhecemos as dimensões e ver se a desigualdade se mantém.

Passo 5

Considere a transformação linear T( x y ) = x y dada por:
Essa é a transformação identidade, que mapeia cada vetor para ele mesmo.

Passo 6

Vamos calcular ker(T) = x y in R^2 mid T( x y ) = 0 0 = 0 0 :
Então, .

Passo 7

Agora, vamos calcular Im T = T( x y ) mid x y in R^2 = R^2 :
Então, .

Passo 8

Agora, somamos as dimensões:
dim(ker(T)) + dim(Im T) = 0 + 2 = 2
E verificamos .

Passo 9

A afirmação inicial dizia que 2 > 2 não é verdadeiro . No nosso exemplo:
ãé
Portanto, a afirmação é falsa.

Resposta

A afirmação é falsa. Um contraexemplo é a transformação identidade , onde .

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