Determinar uma base e a dimensão dos seguintes subespaços do
:
Todos os vetores da forma (
em que
e
Todos os vetores da forma (
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que descobrir uma base e a dimensão de um subespaço de
. O enunciado diz que estamos lidando com vetores do tipo
onde
e
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como subespaços vetoriais, bases e dimensão. Precisaremos entender como expressar os vetores desse subespaço em termos de vetores independentes.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as condições dadas:
e
. Isso significa que, uma vez que escolhamos valores para
e
, os valores de
e
são determinados automaticamente. Então, nossos vetores podem ser escritos como
.
Passo 3
Agora, vamos tentar expressar esse vetor de forma mais estruturada. Podemos separar os termos que dependem de
e
:
Isso mostra que qualquer vetor no subespaço pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores
e
.
Passo 4
Agora, para encontrar uma base, precisamos verificar se esses dois vetores são linearesmente independentes. Isso significa que não existe um número escalar tal que um vetor seja um múltiplo do outro. Olhando para
e
, vemos que isso é verdade – nenhum dos vetores é múltiplo do outro.
Passo 5
Como temos dois vetores linearmente independentes que geram todo o subespaço, eles formam uma base para esse subespaço. Portanto, a base é
.
Passo 6
A dimensão do subespaço é o número de vetores na base. Como nossa base tem 2 vetores, a dimensão é 2.
Resposta
Uma base para o subespaço é
e a dimensão desse subespaço é
.