Determine a equação da elipse centrada no ponto (1,2), tem um vértice no ponto (3,2) e sua excentricidade é 12;

Passo 1

Vamos resolver um exercício para encontrar a equação de uma elipse. A elipse está centrada no ponto (1, 2), tem um vértice em (3, 2) e uma excentricidade de 12. Para isso, vamos precisar entender os conceitos de centro, vértice, excentricidade e a equação padrão da elipse.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a equação padrão de uma elipse com centro em (h, k) e eixo maior horizontal:
(x - h)^2a^2 + (y - k)^2b^2 = 1
Aqui:
  • a é a distância do centro até um vértice no eixo maior.
  • b é a distância do centro até um vértice no eixo menor.

Passo 3

Sabemos que o centro da elipse é no ponto (1, 2). Então, h = 1 e k = 2. A equação fica, por enquanto:
(x - 1)^2a^2 + (y - 2)^2b^2 = 1

Passo 4

O enunciado diz que há um vértice em (3, 2). Como o centro está em (1, 2) e o vértice está em (3, 2), o eixo maior é horizontal. A distância entre o centro e o vértice é a:
a = 3 - 1 = 2
Então, a = 2, e a^2 = 4. Substituindo na equação:
(x - 1)^24 + (y - 2)^2b^2 = 1

Passo 5

A excentricidade ( e) da elipse é dada por:
e = ca
Onde c é a distância do centro até cada foco. Sabemos que e = 12 e a = 2. Vamos encontrar c:
12 = c2 c = 1

Passo 6

Existe uma relação entre a, b e c em uma elipse:
c^2 = a^2 - b^2
Substituindo os valores que temos:
1^2 = 2^2 - b^2 1 = 4 - b^2 b^2 = 4 - 1 b^2 = 3

Passo 7

Agora que temos b^2 = 3, podemos substituir na equação da elipse:
(x - 1)^24 + (y - 2)^23 = 1

Resposta

A equação da elipse é:
(x - 1)^24 + (y - 2)^23 = 1

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