Determine a equação da elipse centrada no ponto (1,2), tem um vértice no ponto
e sua excentricidade é
;
Passo 1
Vamos resolver um exercício para encontrar a equação de uma elipse. A elipse está centrada no ponto (1, 2), tem um vértice em (3, 2) e uma excentricidade de
. Para isso, vamos precisar entender os conceitos de centro, vértice, excentricidade e a equação padrão da elipse.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a equação padrão de uma elipse com centro em
e eixo maior horizontal:
Aqui:
-
é a distância do centro até um vértice no eixo maior. -
é a distância do centro até um vértice no eixo menor.
Passo 3
Sabemos que o centro da elipse é no ponto
. Então,
e
. A equação fica, por enquanto:
Passo 4
O enunciado diz que há um vértice em
. Como o centro está em
e o vértice está em
, o eixo maior é horizontal. A distância entre o centro e o vértice é
:
Então,
, e
. Substituindo na equação:
Passo 5
A excentricidade (
) da elipse é dada por:
Onde
é a distância do centro até cada foco. Sabemos que
e
. Vamos encontrar
:
Passo 6
Existe uma relação entre
,
e
em uma elipse:
Substituindo os valores que temos:
Passo 7
Agora que temos
, podemos substituir na equação da elipse:
Resposta
A equação da elipse é: