Seja V=S2 o espaço vetorial das matrizes simétricas de ordem 2 com entradas reais. Sejam
alpha=[ll 1 & 0 0 & 0 ],[ll 0 & 1 1 & 0 ],[ll 0 & 0 0 & 1 ] e beta=[ll 1 & 0 0 & 0 ],[cc 1 & -1 -1 & 0 ],[ll 0 & 1 1 & 1 ]
duas bases ordenadas de V.
(a) Determine [I]alpha^beta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um exercício de Álgebra Linear que envolve espaços vetoriais e matrizes. O espaço vetorial em questão é V = S2, que é o conjunto de todas as matrizes simétricas 2x2 com entradas reais. A tarefa é determinar a matriz de transformação [I]alpha^beta, que representa a aplicação identidade de V de uma base alpha para outra base beta. Para resolver isso, vamos precisar entender como expressar os vetores de uma base em termos da outra base.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa [I]alpha^beta. Essa matriz representa a transformação identidade, ou seja, ela “mantém” os vetores inalterados, mas expressa esses vetores da base alpha na base beta. Basicamente, vamos encontrar como cada vetor da base alpha pode ser escrito como combinação linear dos vetores da base beta.

Passo 3

Vamos listar as bases alpha e beta:
alpha = 1 & 0 0 & 0 , 0 & 1 1 & 0 , 0 & 0 0 & 1
beta = 1 & 0 0 & 0 , 1 & -1 -1 & 0 , 0 & 1 1 & 1
Nosso objetivo é expressar cada matriz de alpha como combinação linear das matrizes de beta.

Passo 4

Vamos começar com o primeiro vetor da base alpha, que é:
A1 = 1 & 0 0 & 0
Queremos encontrar escalares x, y, e z tais que:
A1 = x cdot 1 & 0 0 & 0 + y cdot 1 & -1 -1 & 0 + z cdot 0 & 1 1 & 1
Ao comparar as entradas das matrizes, obtemos o seguinte sistema de equações:
  1. 1 = x + y
  2. 0 = -y + z
  3. 0 = -y + z
  4. 0 = 0 + 0 + z
Resolvendo esse sistema, encontramos que x = 1, y = 0, e z = 0.

Passo 5

Fazendo o mesmo para o segundo vetor da base alpha:
A2 = 0 & 1 1 & 0
Queremos encontrar x, y, e z tais que:
A2 = x cdot 1 & 0 0 & 0 + y cdot 1 & -1 -1 & 0 + z cdot 0 & 1 1 & 1
Comparando as entradas:
  1. 0 = x + y
  2. 1 = -y + z
  3. 1 = -y + z
  4. 0 = 0 + 0 + z
Resolvendo, encontramos x = 0, y = 0, e z = 1.

Passo 6

Finalmente, para o terceiro vetor da base alpha:
A3 = 0 & 0 0 & 1
Buscamos x, y, e z que satisfaçam:
A3 = x cdot 1 & 0 0 & 0 + y cdot 1 & -1 -1 & 0 + z cdot 0 & 1 1 & 1
Comparando as entradas:
  1. 0 = x + y
  2. 0 = -y + z
  3. 0 = -y + z
  4. 1 = 0 + 0 + z
Resolvendo, obtemos x = 0, y = 0, e z = 1.

Resposta

Com isso, a matriz de transformação [I]alpha^beta é:
[I]alpha^beta = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1

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