Seja
o espaço vetorial das matrizes simétricas de ordem 2 com entradas reais. Sejam
duas bases ordenadas de
.
(a) Determine
.
(a) Determine
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um exercício de Álgebra Linear que envolve espaços vetoriais e matrizes. O espaço vetorial em questão é
, que é o conjunto de todas as matrizes simétricas 2x2 com entradas reais. A tarefa é determinar a matriz de transformação
, que representa a aplicação identidade de
de uma base
para outra base
. Para resolver isso, vamos precisar entender como expressar os vetores de uma base em termos da outra base.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. Essa matriz representa a transformação identidade, ou seja, ela “mantém” os vetores inalterados, mas expressa esses vetores da base
na base
. Basicamente, vamos encontrar como cada vetor da base
pode ser escrito como combinação linear dos vetores da base
.
Passo 3
Vamos listar as bases
e
:
Nosso objetivo é expressar cada matriz de
como combinação linear das matrizes de
.
Passo 4
Vamos começar com o primeiro vetor da base
, que é:
Queremos encontrar escalares
,
, e
tais que:
Ao comparar as entradas das matrizes, obtemos o seguinte sistema de equações:
Resolvendo esse sistema, encontramos que
,
, e
.
Passo 5
Fazendo o mesmo para o segundo vetor da base
:
Queremos encontrar
,
, e
tais que:
Comparando as entradas:
Resolvendo, encontramos
,
, e
.
Passo 6
Finalmente, para o terceiro vetor da base
:
Buscamos
,
, e
que satisfaçam:
Comparando as entradas:
Resolvendo, obtemos
,
, e
.
Resposta
Com isso, a matriz de transformação
é: