Sejam alpha=(1,0),(0,1), beta=(-1,1),(1,1) e gamma=(1,1),(-1,0) bases ordenadas de R^2. Determine:
© [I]gamma^beta

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão de mudança de base em álgebra linear. O enunciado nos pede para encontrar a matriz de transição da identidade de uma base γ para uma base β em . Para isso, vamos precisar entender como expressar os vetores de γ na base β.

Passo 2

Primeiro, vamos listar as bases que temos:
  • Base α (padrão):
  • Base β:
  • Base γ:
Nosso objetivo é expressar cada vetor da base γ em termos da base β.

Passo 3

Vamos começar com o primeiro vetor de γ: v1 = a cdot (-1,1) + b cdot (1,1) . Queremos encontrar escalares - a + b = 1 a + b = 1 e tais que:
Isso se traduz no sistema de equações:

Passo 4

Resolvendo o sistema:
  1. Da primeira equação: (-a + b) + (a + b) = 1 + 1 2b = 2 implies b = 1
  2. Da segunda equação: a + 1 = 1 implies a = 0
Somando as duas equações:
Substituindo na segunda equação:
Então, .

Passo 5

Agora, vamos para o segundo vetor de γ: v2 = c cdot (-1,1) + d cdot (1,1) . Queremos encontrar escalares - c + d = -1 c + d = 0 e tais que:
Isso resulta no sistema:

Passo 6

Resolvendo esse sistema:
  1. Da primeira equação: (-c + d) + (c + d) = -1 + 0 2d = -1 implies d = -12
  2. Da segunda equação: c - 12 = 0 implies c = 12
Somando as duas equações:
Substituindo na segunda equação:
Então, .

Passo 7

Agora que temos as coordenadas dos vetores de γ na base β, podemos construir a matriz de transição [I]gamma^beta = 0 & 12 1 & -12 colocando esses coeficientes como colunas:

Resposta

A matriz de transição da identidade de [I]gamma^beta = 0 & 12 1 & -12 para é:

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