Sejam
e
bases ordenadas de
. Determine:
©
©
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão de mudança de base em álgebra linear. O enunciado nos pede para encontrar a matriz de transição da identidade de uma base γ para uma base β em
. Para isso, vamos precisar entender como expressar os vetores de γ na base β.
Passo 2
Primeiro, vamos listar as bases que temos:
- Base α (padrão):
- Base β:
- Base γ:
Nosso objetivo é expressar cada vetor da base γ em termos da base β.
Passo 3
Vamos começar com o primeiro vetor de γ:
. Queremos encontrar escalares
e
tais que:
Isso se traduz no sistema de equações:
Passo 4
Resolvendo o sistema:
- Da primeira equação:
- Da segunda equação:
Somando as duas equações:
Substituindo
na segunda equação:
Então,
.
Passo 5
Agora, vamos para o segundo vetor de γ:
. Queremos encontrar escalares
e
tais que:
Isso resulta no sistema:
Passo 6
Resolvendo esse sistema:
- Da primeira equação:
- Da segunda equação:
Somando as duas equações:
Substituindo
na segunda equação:
Então,
.
Passo 7
Agora que temos as coordenadas dos vetores de γ na base β, podemos construir a matriz de transição
colocando esses coeficientes como colunas:
Resposta
A matriz de transição da identidade de
para
é: