Determine um operador linear cujo núcleo é gerado por .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de Álgebra Linear onde precisamos encontrar um operador linear cujo núcleo (ou conjunto solução de ) é gerado pelos vetores e . Para resolver isso, vamos usar conceitos de espaços vetoriais, operadores lineares e matrizes.
Passo 2
Primeiro, lembra que o núcleo de um operador linear é o conjunto de vetores em que satisfazem . Sabemos que é gerado pelos vetores e , o que significa que todo vetor no núcleo é uma combinação linear desses dois vetores.
Passo 3
Para encontrar , precisamos definir uma matriz de tal que exatamente quando está no núcleo gerado por e . Isso implica que as colunas de devem ser ortogonais aos vetores que geram o núcleo.
Passo 4
Vamos construir a matriz de forma que suas linhas sejam vetores que são ortogonais aos vetores do núcleo. Isso porque implica que está no núcleo de , ou seja, o núcleo de é exatamente .
Passo 5
Precisamos encontrar vetores tais que:
Onde e serão as linhas da matriz .
Passo 6
Vamos supor que as linhas de sejam igual a e . Precisamos resolver:
E o mesmo para .
Passo 7
Resolvendo as equações para :
Podemos escolher para simplificar, então e . Vamos definir , então .
Passo 8
Similarmente, para , podemos seguir o mesmo raciocínio e obter outro vetor que satisfaça as condições. Por exemplo, escolhendo , então e . Definindo , temos .
Passo 9
Agora, podemos construir a matriz com essas linhas:
Para completar a matriz , podemos adicionar duas linhas adicionais que sejam combinações lineares das já existentes, garantindo que o núcleo permaneça o mesmo.
Passo 10
Por simplicidade, vamos adicionar duas linhas de zeros, já que elas não afetam o núcleo:
Resposta
O operador linear pode ser representado pela matriz: