Determine um operador linear cujo núcleo é gerado por .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de Álgebra Linear onde precisamos encontrar um operador linear cujo núcleo (ou conjunto solução de ) é gerado pelos vetores e . Para resolver isso, vamos usar conceitos de espaços vetoriais, operadores lineares e matrizes.

Passo 2

Primeiro, lembra que o núcleo de um operador linear é o conjunto de vetores em que satisfazem . Sabemos que é gerado pelos vetores e , o que significa que todo vetor no núcleo é uma combinação linear desses dois vetores.

Passo 3

Para encontrar , precisamos definir uma matriz de tal que exatamente quando está no núcleo gerado por e . Isso implica que as colunas de devem ser ortogonais aos vetores que geram o núcleo.

Passo 4

Vamos construir a matriz de forma que suas linhas sejam vetores que são ortogonais aos vetores do núcleo. Isso porque implica que está no núcleo de , ou seja, o núcleo de é exatamente .

Passo 5

Precisamos encontrar vetores tais que:
Onde e serão as linhas da matriz .

Passo 6

Vamos supor que as linhas de sejam igual a e . Precisamos resolver:
E o mesmo para .

Passo 7

Resolvendo as equações para :
Podemos escolher para simplificar, então e . Vamos definir , então .

Passo 8

Similarmente, para , podemos seguir o mesmo raciocínio e obter outro vetor que satisfaça as condições. Por exemplo, escolhendo , então e . Definindo , temos .

Passo 9

Agora, podemos construir a matriz com essas linhas:
Para completar a matriz , podemos adicionar duas linhas adicionais que sejam combinações lineares das já existentes, garantindo que o núcleo permaneça o mesmo.

Passo 10

Por simplicidade, vamos adicionar duas linhas de zeros, já que elas não afetam o núcleo:

Resposta

O operador linear pode ser representado pela matriz:

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(a) Mostre que o conjunto é linearmente independente;
(b) O conjunto é ou não linearmente independente?
Seja um espaço vetorial sobre , com produto interno. Verifique se cada uma das funções a seguir são produtos internos em :
(b) .