Sejam vetores linearmente independentes.
(a) Mostre que o conjunto é linearmente independente;
(b) O conjunto é ou não linearmente independente?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de Álgebra Linear! A questão fala sobre vetores linearmente independentes e pede para a gente verificar se certos conjuntos de vetores também são linearmente independentes. Para isso, vamos precisar entender o que é um conjunto de vetores linearmente independentes e como testar isso usando combinações lineares.

Passo 2

Vamos começar com a parte (a). Temos o conjunto e queremos mostrar que ele é linearmente independente.
Primeiro, o que significa ser linearmente independente? Significa que a única combinação linear desses vetores que dá o vetor zero é quando todos os coeficientes são zero. Ou seja, se , então .

Passo 3

Vamos montar essa equação:
Agora, distribuímos os coeficientes:
Agrupando os termos semelhantes:

Passo 4

Como sabemos que , , são vetores linearmente independentes, isso significa que os coeficientes de cada vetor devem ser zero. Portanto, temos o seguinte sistema de equações:

Passo 5

Resolvendo o sistema:
  • Da terceira equação, .
  • Substituindo na segunda equação: então .
  • Substituindo e na primeira equação: então .
Como , mostramos que o conjunto é linearmente independente.

Passo 6

Agora vamos para a parte (b). O conjunto é e precisamos verificar se ele é linearmente independente.
Vamos novamente considerar uma combinação linear que resulta no vetor zero:

Passo 7

Distribuindo os coeficientes:
Agrupando os termos semelhantes:

Passo 8

Novamente, já que , , são linearmente independentes, os coeficientes de cada vetor devem ser zero. Então temos:

Passo 9

Resolvendo o sistema:
  • Da primeira equação, .
  • Da segunda equação, então .
  • Da terceira equação, substituindo e , temos , que é sempre verdadeiro.
Então, qualquer valor de satisfaz as equações, o que significa que existem infinitas soluções além de .

Resposta

(a) O conjunto é linearmente independente.
(b) O conjunto não é linearmente independente.

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