Sejam
vetores linearmente independentes.
(a) Mostre que o conjunto
é linearmente independente;
(b) O conjunto
é ou não linearmente independente?
(a) Mostre que o conjunto
(b) O conjunto
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de Álgebra Linear! A questão fala sobre vetores linearmente independentes e pede para a gente verificar se certos conjuntos de vetores também são linearmente independentes. Para isso, vamos precisar entender o que é um conjunto de vetores linearmente independentes e como testar isso usando combinações lineares.
Passo 2
Vamos começar com a parte (a). Temos o conjunto
e queremos mostrar que ele é linearmente independente.
Primeiro, o que significa ser linearmente independente? Significa que a única combinação linear desses vetores que dá o vetor zero é quando todos os coeficientes são zero. Ou seja, se
, então
.
Passo 3
Vamos montar essa equação:
Agora, distribuímos os coeficientes:
Agrupando os termos semelhantes:
Passo 4
Como sabemos que
,
,
são vetores linearmente independentes, isso significa que os coeficientes de cada vetor devem ser zero. Portanto, temos o seguinte sistema de equações:
Passo 5
Resolvendo o sistema:
- Da terceira equação,
. - Substituindo
na segunda equação: então . - Substituindo
e na primeira equação: então .
Como
, mostramos que o conjunto
é linearmente independente.
Passo 6
Agora vamos para a parte (b). O conjunto é
e precisamos verificar se ele é linearmente independente.
Vamos novamente considerar uma combinação linear que resulta no vetor zero:
Passo 7
Distribuindo os coeficientes:
Agrupando os termos semelhantes:
Passo 8
Novamente, já que
,
,
são linearmente independentes, os coeficientes de cada vetor devem ser zero. Então temos:
Passo 9
Resolvendo o sistema:
- Da primeira equação,
. - Da segunda equação,
então . - Da terceira equação,
substituindo e , temos , que é sempre verdadeiro.
Então, qualquer valor de
satisfaz as equações, o que significa que existem infinitas soluções além de
.
Resposta
(a) O conjunto
é linearmente independente.
(b) O conjunto
não é linearmente independente.
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.
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, com produto interno. Verifique se cada uma das funções a seguir são produtos internos em
:
(b) .
(b)
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