Determinar uma base de M2 times 2 que contenha:
(rr 1 & -1 0 & 0 ),(ll 3 & 0 2 & 0 )

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar uma base para o espaço M2 times 2, que é o conjunto de todas as matrizes 2x2. A base é como um conjunto de peças fundamentais que a gente usa para construir qualquer matriz 2x2. A gente já tem duas matrizes dadas:
A = 1 & -1 0 & 0 , B = 3 & 0 2 & 0
Pra resolver isso, vamos precisar entender independência linear e base de espaços vetoriais. Vamos ver se essas duas matrizes são independentes e, se sim, vamos encontrar mais duas matrizes para completar a base.

Passo 2

Primeiro, vamos checar se as matrizes A e B são linearmente independentes. Isso significa que não dá pra escrever uma como múltiplo da outra. Pra fazer isso, vamos ver se existe algum número lambda tal que A = lambda B.
Olha:
1 & -1 0 & 0 = lambda 3 & 0 2 & 0
Isso dá as equações:
  1. 1 = 3lambda
  2. -1 = 0lambda
  3. 0 = 2lambda
  4. 0 = 0lambda
Da primeira equação, lambda = 13. Mas da segunda e terceira, temos -1 = 0 e 0 = 23, o que não faz sentido. Então, não existe lambda que satisfaça todas. Logo, A e B são linearmente independentes.

Passo 3

Como M2 times 2 tem dimensão 4 (ou seja, precisamos de 4 matrizes independentes para formar uma base), e já temos 2 matrizes independentes, precisamos encontrar mais 2 matrizes que, junto com A e B, continuem sendo independentes.
Uma estratégia é escolher matrizes que tenham pivôs em posições diferentes das de A e B. Vamos escolher:
C = 0 & 1 0 & 0 , D = 0 & 0 1 & 0

Passo 4

Agora, vamos verificar se A, B, C e D são linearmente independentes. Para isso, consideramos a combinação linear:
xA + yB + zC + wD = 0
Isso dá:

$$
x x 1 & -1 0 & 0 + y 3 & 0 2 & 0 + z 0 & 1 0 & 0 + w 0 & 0 1 & 0 = 0 & 0 0 & 0
+
y x + 3y = 0
+
z -x + z = 0
+
w 2y + w = 0

0 = 0
$$
Isso dá o sistema de equações:
  1. z = x (elemento (1,1))
  2. x = -3y (elemento (1,2))
  3. w = -2y (elemento (2,1))
  4. y (elemento (2,2))
Resolvendo:
  • Da equação 2: x = y = z = w = 0
  • Da equação 1: y = 0
  • Da equação 3: x = z = w = 0
Então todas as variáveis são expressas em termos de . Para que a única solução seja , precisamos que , o que implica . Assim, as matrizes são linearmente independentes.

Resposta

Uma base de M2 times 2 que contém as matrizes dadas é:
1 & -1 0 & 0 , 3 & 0 2 & 0 , 0 & 1 0 & 0 , 0 & 0 1 & 0

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