Determinar uma base de
que contenha:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar uma base para o espaço
, que é o conjunto de todas as matrizes 2x2. A base é como um conjunto de peças fundamentais que a gente usa para construir qualquer matriz 2x2. A gente já tem duas matrizes dadas:
Pra resolver isso, vamos precisar entender independência linear e base de espaços vetoriais. Vamos ver se essas duas matrizes são independentes e, se sim, vamos encontrar mais duas matrizes para completar a base.
Passo 2
Primeiro, vamos checar se as matrizes
e
são linearmente independentes. Isso significa que não dá pra escrever uma como múltiplo da outra. Pra fazer isso, vamos ver se existe algum número
tal que
.
Olha:
Isso dá as equações:
Da primeira equação,
. Mas da segunda e terceira, temos
e
, o que não faz sentido. Então, não existe
que satisfaça todas. Logo,
e
são linearmente independentes.
Passo 3
Como
tem dimensão 4 (ou seja, precisamos de 4 matrizes independentes para formar uma base), e já temos 2 matrizes independentes, precisamos encontrar mais 2 matrizes que, junto com
e
, continuem sendo independentes.
Uma estratégia é escolher matrizes que tenham pivôs em posições diferentes das de
e
. Vamos escolher:
Passo 4
Agora, vamos verificar se
,
,
e
são linearmente independentes. Para isso, consideramos a combinação linear:
Isso dá:
$$
x
+
y
+
z
+
w
$$
Isso dá o sistema de equações:
-
(elemento (1,1)) -
(elemento (1,2)) -
(elemento (2,1)) -
(elemento (2,2))
Resolvendo:
- Da equação 2:
- Da equação 1:
- Da equação 3:
Então todas as variáveis são expressas em termos de
. Para que a única solução seja
, precisamos que
, o que implica
. Assim, as matrizes são linearmente independentes.
Resposta
Uma base de
que contém as matrizes dadas é: