Exiba uma base e a dimensão de cada um dos seguintes espaços de polinômios.
a) Polinômios pares de grau <= 5.
b) Polinômios ímpares de grau <= 5.

Passo 1

Beleza, vamos resolver este exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar uma base e a dimensão de dois espaços de polinômios: os polinômios pares de grau até 5 e os polinômios ímpares de grau até 5. Para isso, vamos precisar entender o que são polinômios pares e ímpares, além de saber como identificar uma base e calcular a dimensão de um espaço vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre polinômios pares e polinômios ímpares. Um polinômio é par se ele só tem termos com grau par, ou seja, potências de que são números pares (como etc.). Já um polinômio é ímpar se só tem termos com grau ímpar (como etc.).
Além disso, para encontrar uma base de um espaço vetorial, precisamos de um conjunto de polinômios que sejam linearmente independentes e que gerem todo o espaço. A dimensão do espaço é simplesmente o número de polinômios na base.

Passo 3

Vamos começar com a parte a): Polinômios pares de grau P(x) = a0 + a2x^2 + a4x^4 .
Um polinômio par de grau até 5 pode ser escrito da seguinte forma:
1, x^2, x^4
Aqui, os termos são e porque são as potências pares até 5.
Então, uma base para este espaço é:
Cada um desses polinômios é único e nenhum pode ser escrito como combinação dos outros, o que mostra que são linearmente independentes. Além disso, qualquer polinômio par de grau até 5 pode ser escrito como uma combinação linear desses termos.
A dimensão deste espaço é o número de polinômios na base, que é 3.

Passo 4

Agora, vamos para a parte b): Polinômios ímpares de grau Q(x) = a1x + a3x^3 + a5x^5 .
Um polinômio ímpar de grau até 5 pode ser escrito assim:
x, x^3, x^5
Aqui, os termos são e porque são as potências ímpares até 5.
Portanto, uma base para este espaço é:
Assim como antes, esses polinômios são linearmente independentes e conseguem gerar qualquer polinômio ímpar de grau até 5 através de combinações lineares.
A dimensão deste espaço também é 3, já que temos três polinômios na base.

Resposta

a) Polinômios pares de grau :
  • Base:
  • Dimensão: 3
b) Polinômios ímpares de grau :
  • Base:
  • Dimensão: 3

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