Exiba uma base e a dimensão de cada um dos seguintes espaços de polinômios.
a) Polinômios pares de grau
.
b) Polinômios ímpares de grau
.
a) Polinômios pares de grau
b) Polinômios ímpares de grau
Passo 1
Beleza, vamos resolver este exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar uma base e a dimensão de dois espaços de polinômios: os polinômios pares de grau até 5 e os polinômios ímpares de grau até 5. Para isso, vamos precisar entender o que são polinômios pares e ímpares, além de saber como identificar uma base e calcular a dimensão de um espaço vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre polinômios pares e polinômios ímpares. Um polinômio é par se ele só tem termos com grau par, ou seja, potências de
que são números pares (como
etc.). Já um polinômio é ímpar se só tem termos com grau ímpar (como
etc.).
Além disso, para encontrar uma base de um espaço vetorial, precisamos de um conjunto de polinômios que sejam linearmente independentes e que gerem todo o espaço. A dimensão do espaço é simplesmente o número de polinômios na base.
Passo 3
Vamos começar com a parte a): Polinômios pares de grau
.
Um polinômio par de grau até 5 pode ser escrito da seguinte forma:
Aqui, os termos são
e
porque são as potências pares até 5.
Então, uma base para este espaço é:
Cada um desses polinômios é único e nenhum pode ser escrito como combinação dos outros, o que mostra que são linearmente independentes. Além disso, qualquer polinômio par de grau até 5 pode ser escrito como uma combinação linear desses termos.
A dimensão deste espaço é o número de polinômios na base, que é 3.
Passo 4
Agora, vamos para a parte b): Polinômios ímpares de grau
.
Um polinômio ímpar de grau até 5 pode ser escrito assim:
Aqui, os termos são
e
porque são as potências ímpares até 5.
Portanto, uma base para este espaço é:
Assim como antes, esses polinômios são linearmente independentes e conseguem gerar qualquer polinômio ímpar de grau até 5 através de combinações lineares.
A dimensão deste espaço também é 3, já que temos três polinômios na base.
Resposta
a) Polinômios pares de grau
:
- Base:
- Dimensão: 3
b) Polinômios ímpares de grau
:
- Base:
- Dimensão: 3