Sejam W1, ldots, Wn subespaços de um espaço vetorial V. Utilizando o Princípio da Indução Finita, prove que W1 cap cdots cap Wn é subespaço de V.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para provar que a interseção de vários subespaços de um espaço vetorial também é um subespaço de . A matéria aqui é Álgebra Linear, mais especificamente sobre subespaços vetoriais e o Princípio da Indução Finita. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um subespaço e como aplicar a indução para provar que a interseção de subespaços é também um subespaço.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Um subespaço de deve satisfazer três condições:
  1. Contém o vetor zero: .
  2. Fechado para adição: Se , então .
  3. Fechado para multiplicação por escalar: Se e é um escalar, então .
Agora, o Princípio da Indução Finita nos ajuda a provar algo para todo número natural . Para usar a indução, precisamos verificar dois passos:
  1. Base da Indução: Mostrar que a afirmação vale para um caso inicial, geralmente .
  2. Passo Indutivo: Assumir que a afirmação vale para e provar que ela também vale para .

Passo 3

Base da Indução ( ):
Quando temos apenas um subespaço , a interseção é simplesmente mesmo. Sabemos que é um subespaço de por definição. Portanto, a base da indução está satisfeita.

Passo 4

Passo Indutivo:
Vamos supor que a interseção de subespaços seja um subespaço de . Agora, precisamos mostrar que a interseção com mais um subespaço, ou seja, , também é um subespaço de .
Para isso, consideremos dois vetores qualquer na interseção: digamos e que pertencem a todos os .
  • Fechamento para adição: pertence a cada , já que cada é um subespaço e, portanto, fechado para adição. Assim, pertence à interseção.
  • Fechamento para multiplicação por escalar: Se é um escalar e pertence a cada , então também pertence a cada , já que cada é fechado para multiplica��ão por escalar. Então, pertence à interseção.
Como ambas as propriedades são satisfeitas, a interseção é um subespaço de .

Resposta

Portanto, por indução finita, a interseção é um subespaço de .

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