Sejam
subespaços de um espaço vetorial
. Utilizando o Princípio da Indução Finita, prove que
é subespaço de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para provar que a interseção de vários subespaços de um espaço vetorial
também é um subespaço de
. A matéria aqui é Álgebra Linear, mais especificamente sobre subespaços vetoriais e o Princípio da Indução Finita. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um subespaço e como aplicar a indução para provar que a interseção de
subespaços é também um subespaço.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Um subespaço
de
deve satisfazer três condições:
- Contém o vetor zero:
. - Fechado para adição: Se
, então . - Fechado para multiplicação por escalar: Se
e é um escalar, então .
Agora, o Princípio da Indução Finita nos ajuda a provar algo para todo número natural
. Para usar a indução, precisamos verificar dois passos:
- Base da Indução: Mostrar que a afirmação vale para um caso inicial, geralmente
. - Passo Indutivo: Assumir que a afirmação vale para
e provar que ela também vale para .
Passo 3
Base da Indução (
):
Quando temos apenas um subespaço
, a interseção
é simplesmente
mesmo. Sabemos que
é um subespaço de
por definição. Portanto, a base da indução está satisfeita.
Passo 4
Passo Indutivo:
Vamos supor que a interseção de
subespaços
seja um subespaço de
. Agora, precisamos mostrar que a interseção com mais um subespaço, ou seja,
, também é um subespaço de
.
Para isso, consideremos dois vetores qualquer na interseção: digamos
e
que pertencem a todos os
.
-
Fechamento para adição:
pertence a cada , já que cada é um subespaço e, portanto, fechado para adição. Assim, pertence à interseção. -
Fechamento para multiplicação por escalar: Se
é um escalar e pertence a cada , então também pertence a cada , já que cada é fechado para multiplica��ão por escalar. Então, pertence à interseção.
Como ambas as propriedades são satisfeitas, a interseção
é um subespaço de
.
Resposta
Portanto, por indução finita, a interseção
é um subespaço de
.