Utilize o Teorema do Núcleo e Imagem para provar as seguintes sentenças:
a) Não existe transformação linear injetora de
em
.
b) Não existe transformação linear sobrejetora de
em
.
a) Não existe transformação linear injetora de
b) Não existe transformação linear sobrejetora de
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos duas afirmações para provar usando o Teorema do Núcleo e da Imagem (também conhecido como Teorema da Dimensão ou Teorema de Rank-Nullity). As afirmações são:
a) Não existe transformação linear injetora de
em
.
b) Não existe transformação linear sobrejetora de
em
.
Para resolver isso, vamos precisar entender o que são transformações lineares injetoras e sobrejetoras, além de aplicar o Teorema do Núcleo e da Imagem para analisar as dimensões dos espaços envolvidos.
Passo 2
Vamos começar com a parte a): Mostrar que não existe uma transformação linear injetora de
em
.
Primeiro, vamos lembrar que
é o espaço das matrizes 2x3, e
é o espaço vetorial de 5 dimensões. O Teorema do Núcleo e da Imagem nos diz que:
Para uma transformação ser injetora, o núcleo precisa ser apenas o vetor zero, ou seja,
.
Passo 3
Agora, vamos calcular as dimensões dos espaços. A dimensão de
é o número de entradas na matriz, que é
. A dimensão de
é 5.
Aplicando o Teorema do Núcleo e da Imagem:
Como queremos que a transformação seja injetora,
. Então:
Passo 4
Mas aqui temos um problema:
é um subespaço de
, que só tem dimensão 5. Não é possível que
tenha dimensão 6 dentro de um espaço de dimensão 5. Isso é um absurdo!
Portanto, não pode existir uma transformação linear injetora de
em
.
Passo 5
Agora, vamos para a parte b): Mostrar que não existe uma transformação linear sobrejetora de
em
.
Aqui,
é o espaço dos números complexos, que pode ser visto como um espaço vetorial de dimensão 2 sobre
(pois cada número complexo tem parte real e imaginária). Já
é o espaço dos polinômios de grau no máximo 2 com coeficientes reais, que tem dimensão 3 (coeficientes para
,
, e
).
Passo 6
Vamos aplicar novamente o Teorema do Núcleo e da Imagem:
Queremos que a transformação seja sobrejetora, ou seja, que
. Portanto,
.
Sabemos que
. Assim:
Isso implica que
, o que não faz sentido porque dimensão não pode ser negativa.
Resposta
Portanto, concluímos que:
a) Não existe transformação linear injetora de
em
.
b) Não existe transformação linear sobrejetora de
em
.