Utilize o Teorema do Núcleo e Imagem para provar as seguintes sentenças:
a) Não existe transformação linear injetora de M2 times 3 em R^5.
b) Não existe transformação linear sobrejetora de C em P2(R).

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos duas afirmações para provar usando o Teorema do Núcleo e da Imagem (também conhecido como Teorema da Dimensão ou Teorema de Rank-Nullity). As afirmações são:
a) Não existe transformação linear injetora de M2 times 3 em R^5.
b) Não existe transformação linear sobrejetora de C em P2(R).
Para resolver isso, vamos precisar entender o que são transformações lineares injetoras e sobrejetoras, além de aplicar o Teorema do Núcleo e da Imagem para analisar as dimensões dos espaços envolvidos.

Passo 2

Vamos começar com a parte a): Mostrar que não existe uma transformação linear injetora de M2 times 3 em R^5.
Primeiro, vamos lembrar que M2 times 3 é o espaço das matrizes 2x3, e R^5 é o espaço vetorial de 5 dimensões. O Teorema do Núcleo e da Imagem nos diz que:
dim(V) = dim(Im(T)) + dim(Ker(T))
Para uma transformação ser injetora, o núcleo precisa ser apenas o vetor zero, ou seja, dim(Ker(T)) = 0.

Passo 3

Agora, vamos calcular as dimensões dos espaços. A dimensão de M2 times 3 é o número de entradas na matriz, que é 2 times 3 = 6. A dimensão de R^5 é 5.
Aplicando o Teorema do Núcleo e da Imagem:
6 = dim(Im(T)) + dim(Ker(T))
Como queremos que a transformação seja injetora, dim(Ker(T)) = 0. Então:
6 = dim(Im(T)) + 0 implies dim(Im(T)) = 6

Passo 4

Mas aqui temos um problema: Im(T) é um subespaço de R^5, que só tem dimensão 5. Não é possível que Im(T) tenha dimensão 6 dentro de um espaço de dimensão 5. Isso é um absurdo!
Portanto, não pode existir uma transformação linear injetora de M2 times 3 em R^5.

Passo 5

Agora, vamos para a parte b): Mostrar que não existe uma transformação linear sobrejetora de C em P2(R).
Aqui, C é o espaço dos números complexos, que pode ser visto como um espaço vetorial de dimensão 2 sobre R (pois cada número complexo tem parte real e imaginária). Já P2(R) é o espaço dos polinômios de grau no máximo 2 com coeficientes reais, que tem dimensão 3 (coeficientes para 1, x, e x^2).

Passo 6

Vamos aplicar novamente o Teorema do Núcleo e da Imagem:
dim(V) = dim(Im(T)) + dim(Ker(T))
Queremos que a transformação seja sobrejetora, ou seja, que Im(T) = P2(R). Portanto, dim(Im(T)) = 3.
Sabemos que dim(C) = 2. Assim:
2 = 3 + dim(Ker(T))
Isso implica que dim(Ker(T)) = -1, o que não faz sentido porque dimensão não pode ser negativa.

Resposta

Portanto, concluímos que:
a) Não existe transformação linear injetora de M2 times 3 em R^5.
b) Não existe transformação linear sobrejetora de C em P2(R).

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