Seja T: M2 times 2 R^2 a transformação linear definida por T[lla & b c & d]=(a-c+d, a-b+d). Considere as bases
alpha=[ll 3 & 1 0 & 4 ],[cc 0 & 0 -1 & 1 ],[ll 2 & 0 1 & 0 ],[ll 0 & 1 0 & 0 ]
e beta=(1,2),(0,-1) de M2 times 2 e R^2, respectivamente. Determine [T]beta^alpha.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a matriz da transformação linear em relação às bases e . A transformação leva matrizes para vetores em . Para resolver isso, vamos precisar entender como representar usando essas bases específicas. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Basicamente, uma transformação linear transforma vetores de um espaço vetorial para outro de forma que preserve a adição e a multiplicação por escalar. No nosso caso, pega uma matriz e retorna um vetor em .

Passo 3

A próxima coisa é entender o que significa . Isso representa a matriz de transformação de com relação às bases e . Em outras palavras, é a matriz que transforma as coordenadas de uma matriz na base para as coordenadas do vetor resultante na base .

Passo 4

Vamos começar aplicando alpha = 3 & 1 0 & 4 , 0 & 0 -1 & 1 , 2 & 0 1 & 0 , 0 & 1 0 & 0 a cada uma das matrizes da base 3 & 1 0 & 4 . As matrizes na base T(A1) = (3 - 0 + 4, 3 - 1 + 4) = (7, 6) são:
0 & 0 -1 & 1
Vamos aplicar T(A2) = (0 - (-1) + 1, 0 - 0 + 1) = (2, 1) a cada uma delas:
  1. Para 2 & 0 1 & 0 :
T(A3) = (2 - 1 + 0, 2 - 0 + 0) = (1, 2)
  1. Para 0 & 1 0 & 0 :
T(A4) = (0 - 0 + 0, 0 - 1 + 0) = (0, -1)
  1. Para :
  1. Para :

Passo 5

Agora, precisamos expressar esses vetores resultantes em termos da base T(Ai) = c1 cdot (1,2) + c2 cdot (0,-1) . Isso significa que precisamos encontrar coeficientes 7 = c1 cdot 1 + c2 cdot 0 6 = c1 cdot 2 + c2 cdot (-1) Rightarrow c1 = 7 6 = 14 - c2 Rightarrow c2 = 14 - 6 = 8 e 7 8 tais que:
2 = c1 cdot 1 + c2 cdot 0 1 = c1 cdot 2 + c2 cdot (-1) Rightarrow c1 = 2 1 = 4 - c2 Rightarrow c2 = 4 - 1 = 3
Vamos resolver isso para cada 2 3 :
  1. Para 1 = c1 cdot 1 + c2 cdot 0 2 = c1 cdot 2 + c2 cdot (-1) Rightarrow c1 = 1 2 = 2 - c2 Rightarrow c2 = 0 :
1 0
Então, 0 = c1 cdot 1 + c2 cdot 0 -1 = c1 cdot 2 + c2 cdot (-1) Rightarrow c1 = 0 -1 = 0 - c2 Rightarrow c2 = 1
  1. Para 0 1 :
Então,
  1. Para :
Então,
  1. Para :
Então,

Passo 6

Agora que temos as coordenadas de cada [T]beta^alpha = 7 & 2 & 1 & 0 8 & 3 & 0 & 1 na base , podemos montar a matriz . Cada coluna dessa matriz corresponde aos coeficientes encontrados para :

Resposta

[T]beta^alpha = 7 & 2 & 1 & 0 8 & 3 & 0 & 1

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