Seja
a transformação linear definida por
. Considere as bases
e
de
e
, respectivamente. Determine
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a matriz da transformação linear
em relação às bases
e
. A transformação
leva matrizes
para vetores em
. Para resolver isso, vamos precisar entender como representar
usando essas bases específicas. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Basicamente, uma transformação linear
transforma vetores de um espaço vetorial para outro de forma que preserve a adição e a multiplicação por escalar. No nosso caso,
pega uma matriz
e retorna um vetor em
.
Passo 3
A próxima coisa é entender o que significa
. Isso representa a matriz de transformação de
com relação às bases
e
. Em outras palavras, é a matriz que transforma as coordenadas de uma matriz na base
para as coordenadas do vetor resultante na base
.
Passo 4
Vamos começar aplicando
a cada uma das matrizes da base
. As matrizes na base
são:
Vamos aplicar
a cada uma delas:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Passo 5
Agora, precisamos expressar esses vetores resultantes em termos da base
. Isso significa que precisamos encontrar coeficientes
e
tais que:
Vamos resolver isso para cada
:
- Para
:
Então,
- Para
:
Então,
- Para
:
Então,
- Para
:
Então,
Passo 6
Agora que temos as coordenadas de cada
na base
, podemos montar a matriz
. Cada coluna dessa matriz corresponde aos coeficientes encontrados para
: