Determinar base para o núcleo e para a imagem das transformações lineares abaixo: ;
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma transformação linear que atua no espaço , que é o conjunto de todos os polinômios de grau no máximo 2. A transformação é definida por , ou seja, ela pega um polinômio e retorna a sua derivada . Precisamos encontrar uma base para o núcleo (ou seja, o conjunto de todos os polinômios que são mapeados para o polinômio nulo) e para a imagem (o conjunto de todos os polinômios que podem ser obtidos a partir da transformação ) dessa transformação. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como núcleo, imagem, e bases.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o núcleo de . O núcleo é o conjunto de todos os polinômios em tais que . Isso significa que a derivada de é o polinômio zero.
Passo 3
Um polinômio cuja derivada é zero deve ser constante, ou seja, da forma , onde é uma constante real. Portanto, todo polinômio constante está no núcleo de .
Passo 4
Então, o núcleo de é o conjunto de todos os polinômios constantes. Em termos de base, uma base para o núcleo é simplesmente o polinômio constante , já que qualquer polinômio no núcleo pode ser escrito como onde é uma constante real.
Passo 5
Agora, vamos encontrar a imagem de . A imagem é o conjunto de todos os polinômios que podem ser obtidos como para algum em . Ou seja, queremos encontrar todos os derivados de polinômios de grau no máximo 2.
Passo 6
Vamos considerar um polinômio genérico em . Sua derivada é . Observamos que é um polinômio de grau no máximo 1.
Passo 7
Isso significa que a imagem de consiste em todos os polinômios de grau no máximo 1. Em termos de base, podemos usar os polinômios e , já que qualquer polinômio de grau no máximo 1 pode ser escrito como uma combinação linear de e .