Determinar base para o núcleo e para a imagem das transformações lineares abaixo:
;
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma transformação linear
que atua no espaço
, que é o conjunto de todos os polinômios de grau no máximo 2. A transformação
é definida por
, ou seja, ela pega um polinômio
e retorna a sua derivada
. Precisamos encontrar uma base para o núcleo (ou seja, o conjunto de todos os polinômios que são mapeados para o polinômio nulo) e para a imagem (o conjunto de todos os polinômios que podem ser obtidos a partir da transformação
) dessa transformação. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como núcleo, imagem, e bases.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o núcleo de
. O núcleo é o conjunto de todos os polinômios
em
tais que
. Isso significa que a derivada de
é o polinômio zero.
Passo 3
Um polinômio cuja derivada é zero deve ser constante, ou seja, da forma
, onde
é uma constante real. Portanto, todo polinômio constante está no núcleo de
.
Passo 4
Então, o núcleo de
é o conjunto de todos os polinômios constantes. Em termos de base, uma base para o núcleo é simplesmente o polinômio constante
, já que qualquer polinômio no núcleo pode ser escrito como
onde
é uma constante real.
Passo 5
Agora, vamos encontrar a imagem de
. A imagem é o conjunto de todos os polinômios que podem ser obtidos como
para algum
em
. Ou seja, queremos encontrar todos os derivados de polinômios de grau no máximo 2.
Passo 6
Vamos considerar um polinômio genérico
em
. Sua derivada é
. Observamos que
é um polinômio de grau no máximo 1.
Passo 7
Isso significa que a imagem de
consiste em todos os polinômios de grau no máximo 1. Em termos de base, podemos usar os polinômios
e
, já que qualquer polinômio de grau no máximo 1 pode ser escrito como uma combinação linear de
e
.
Passo 8
Portanto, uma base para a imagem de
é
.
Resposta
- Base para o núcleo de
: - Base para a imagem de
: