Determine a equação geral do plano que contém a reta r: x-12=y2=z-1 e é paralelo à reta s: x-32=y-2-1=z-44.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar a equação geral de um plano que contém a reta e que é paralelo à reta . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como vetores e equações de planos.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar um ponto que está na reta x = 1, y = 0, z = 1 . Olhando para a equação de , podemos escolher um valor para o parâmetro e encontrar um ponto específico. Se colocarmos o parâmetro igual a zero, temos:
Então, um ponto no plano será .

Passo 3

Agora, precisamos identificar os vetores direcionais das retas Vetor direcional v1 = lang<= 2, 2, 1 rang<= e Vetor direcional v2 = lang<= 2, -1, 4 rang<= . Esses vetores mostram a direção que cada reta segue.
Para a reta :
Para a reta :
Como o plano é paralelo à reta , o vetor também está no plano.

Passo 4

Para encontrar a equação do plano, precisamos de um vetor normal, que é perpendicular ao plano. Podemos encontrar esse vetor normal calculando o produto vetorial entre n = v1 times v2 = i & j & k 2 & 2 & 1 2 & -1 & 4 e n = i(2 cdot 4 - 1 cdot (-1)) - j(2 cdot 4 - 1 cdot 2) + k(2 cdot (-1) - 2 cdot 2) = lang<= 9, -6, -6 rang<= :
n = lang<= 3, -2, -2 rang<=
Calculando o determinante:
Podemos simplificar dividindo por 3:

Passo 5

Agora que temos o vetor normal 3(x - 1) - 2(y - 0) - 2(z - 1) = 0 e um ponto 3x - 3 - 2y - 2z + 2 = 0 no plano, podemos usar a forma geral da equação do plano:
3x - 2y - 2z - 1 = 0
Distribuindo os termos:
Simplificando:

Resposta

A equação geral do plano é:
3x - 2y - 2z + 1 = 0

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