Determine a equação geral do plano que contém a reta e é paralelo à reta .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar a equação geral de um plano que contém a reta e que é paralelo à reta . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como vetores e equações de planos.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar um ponto que está na reta . Olhando para a equação de , podemos escolher um valor para o parâmetro e encontrar um ponto específico. Se colocarmos o parâmetro igual a zero, temos:
Então, um ponto no plano será .
Passo 3
Agora, precisamos identificar os vetores direcionais das retas e . Esses vetores mostram a direção que cada reta segue.
Para a reta :
Para a reta :
Como o plano é paralelo à reta , o vetor também está no plano.
Passo 4
Para encontrar a equação do plano, precisamos de um vetor normal, que é perpendicular ao plano. Podemos encontrar esse vetor normal calculando o produto vetorial entre e :
Calculando o determinante:
Podemos simplificar dividindo por 3:
Passo 5
Agora que temos o vetor normal 3(x - 1) - 2(y - 0) - 2(z - 1) = 0 e um ponto 3x - 3 - 2y - 2z + 2 = 0 no plano, podemos usar a forma geral da equação do plano: