Determine todas as equaçōes da reta que é ortogonal a cada uma das retas : e , e que contém o ponto .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos todas as equações de uma reta que seja ortogonal (ou seja, perpendicular) às retas e , e que passe pelo ponto .
Conteúdo da matéria: Vamos utilizar conceitos de geometria analítica no espaço tridimensional, especialmente sobre retas no espaço, vetores diretores e condições de ortogonalidade entre retas.
O que vamos precisar:
Representação vetorial de retas no espaço.
Determinação de vetores diretores.
Condição de ortogonalidade entre vetores.
Sistema de equações para encontrar a reta desejada.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os vetores diretores das retas e .
A reta está definida por:
Podemos reescrever em termos paramétricos usando :
Então, o vetor diretor de é .
Agora, para a reta :
Vamos expressar em termos de :
Então, o vetor diretor de é .
Passo 3
Agora, vamos encontrar um vetor diretor v cdot ur = 0 e v cdot us = 0 para a reta que queremos determinar. Como essa reta deve ser ortogonal a a b c e a cdot 1 + b cdot (-2) + c cdot 10 = 0 a cdot 1 + b cdot 2 + c cdot (-3) = 0 , o vetor a - 2b + 10c = 0 a + 2b - 3c = 0 deve ser perpendicular aos vetores e .
Condição de ortogonalidade: Dois vetores são perpendiculares se o produto escalar entre eles for zero.
Então, temos:
Vamos chamar .
Aplicando a condição:
Simplificando:
Passo 4
Vamos resolver o sistema de equações para encontrar os valores de a - 2b + 10c = 0 (1) a + 2b - 3c = 0 (2) , (a - 2b + 10c) - (a + 2b - 3c) = 0 - 0 -4b + 13c = 0 -4b = -13c b = 134c e a + 2(134c) - 3c = 0 a + 264c - 3c = 0 a + 264c - 124c = 0 a + 144c = 0 a = -144c = -72c .
Temos:
a = -72c b = 134c
Subtraindo a equação (2) da equação (1):
a = -72 times 4 = -14 b = 134 times 4 = 13 c = 4
Agora, substituímos -14 13 4 na equação (2):
Então, expressamos e em função de :
Podemos escolher como parâmetro. Para simplificar, vamos escolher :
Portanto, o vetor diretor .
Passo 5
Agora que temos o vetor diretor -14 13 4 e sabemos que a reta passa pelo ponto r(t) = r0 + tv , podemos escrever a equação paramétrica da reta.
A equação vetorial de uma reta no espaço é dada por:
x = 3 - 14t y = -3 + 13t z = 4 + 4t
Onde:
é o ponto pelo qual a reta passa.
é o vetor diretor.
é o parâmetro.
Substituindo os valores:
Resposta
A equação da reta que é ortogonal às retas x = 3 - 14t y = -3 + 13t z = 4 + 4t e e que passa pelo ponto é: