Verifique, em cada um dos itens abaixo, se a aplicação lang<=, rang<= é um produto interno no espaço vetorial V.
V=R^4, u=(x1, y1, z1, t1), v=(x2, y2, z2, t2) e lang<= u, vrang<==x1 x2+y1 y2+z1 z2-t1 t2.

Passo 1

Vamos lá! O enunciado pede para verificar se a aplicação lang<= cdot, cdot rang<= definida em R^4 é um produto interno. Para isso, precisamos lembrar das propriedades que uma aplicação deve satisfazer para ser considerada um produto interno: simetria, linearidade e positividade definida. Vamos verificar cada uma dessas propriedades passo a passo.

Passo 2

Simetria: Um produto interno deve satisfazer que lang<= u, v rang<= = lang<= v, u rang<= para todos os vetores u e v em V.
Vamos calcular:
lang<= u, v rang<= = x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 - t1 t2
lang<= v, u rang<= = x2 x1 + y2 y1 + z2 z1 - t2 t1
Como a multiplicação é comutativa, temos:
lang<= u, v rang<= = lang<= v, u rang<=
Então, a aplicação é simétrica.

Passo 3

Linearidade: A aplicação deve ser linear em cada um dos seus argumentos. Isso significa que para todo escalar a e vetores u, v, w em V, deve valer:
lang<= au + v, w rang<= = alang<= u, w rang<= + lang<= v, w rang<=
Vamos verificar:
lang<= au + v, w rang<= = (a x1 + x2)w1 + (a y1 + y2)w2 + (a z1 + z2)w3 - (a t1 + t2)w4
Distribuindo:
= a x1 w1 + x2 w1 + a y1 w2 + y2 w2 + a z1 w3 + z2 w3 - a t1 w4 - t2 w4
Agrupando:
= a(x1 w1 + y1 w2 + z1 w3 - t1 w4) + (x2 w1 + y2 w2 + z2 w3 - t2 w4)
= alang<= u, w rang<= + lang<= v, w rang<=
Portanto, a aplicação é linear no primeiro argumento. Como a simetria garante a linearidade em ambos os argumentos, a propriedade de linearidade está satisfeita.

Passo 4

Positividade Definida: Para que a aplicação seja um produto interno, deve valer que lang<= u, u rang<= >= 0 para todo u in V, e lang<= u, u rang<= = 0 somente quando u é o vetor nulo.
Vamos calcular lang<= u, u rang<=:
lang<= u, u rang<= = x1^2 + y1^2 + z1^2 - t1^2
Observamos que:
lang<= u, u rang<= = x1^2 + y1^2 + z1^2 - t1^2
Este valor pode ser negativo se t1^2 for maior que x1^2 + y1^2 + z1^2. Por exemplo, se u = (0, 0, 0, 1):
lang<= u, u rang<= = 0 + 0 + 0 - 1 = -1 < 0
Isso mostra que a aplicação não é positiva definida.

Resposta

Não, a aplicação lang<= cdot, cdot rang<= não é um produto interno no espaço vetorial V.

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