Verifique, em cada um dos itens abaixo, se a aplicação
,
é um produto interno no espaço vetorial
.
e
.
Passo 1
Vamos lá! O enunciado pede para verificar se a aplicação
definida em
é um produto interno. Para isso, precisamos lembrar das propriedades que uma aplicação deve satisfazer para ser considerada um produto interno: simetria, linearidade e positividade definida. Vamos verificar cada uma dessas propriedades passo a passo.
Passo 2
Simetria: Um produto interno deve satisfazer que
para todos os vetores
e
em
.
Vamos calcular:
Como a multiplicação é comutativa, temos:
Então, a aplicação é simétrica.
Passo 3
Linearidade: A aplicação deve ser linear em cada um dos seus argumentos. Isso significa que para todo escalar
e vetores
em
, deve valer:
Vamos verificar:
Distribuindo:
Agrupando:
Portanto, a aplicação é linear no primeiro argumento. Como a simetria garante a linearidade em ambos os argumentos, a propriedade de linearidade está satisfeita.
Passo 4
Positividade Definida: Para que a aplicação seja um produto interno, deve valer que
para todo
, e
somente quando
é o vetor nulo.
Vamos calcular
:
Observamos que:
Este valor pode ser negativo se
for maior que
. Por exemplo, se
:
Isso mostra que a aplicação não é positiva definida.
Resposta
Não, a aplicação
não é um produto interno no espaço vetorial
.