Determinar uma base ortonormal do sub-espaço W=[(1,1,1),(1,-2,3)] do R^3 em relação ao produto interno dado por:
lang<= u, vrang<==x1 y1+2 x2 y2+x3 y3
para todo par de vetores u=(x1, x2, x3) e v=(y1, y2, y3) do R^3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar uma base ortonormal para o subespaço lang<= u, v rang<= = x1 y1 + 2 x2 y2 + x3 y3 que é gerado pelos vetores e no espaço . Para isso, vamos usar o conceito de produto interno personalizado dado por:
Vamos precisar aplicar o Processo de Gram-Schmidt adaptado a esse produto interno para ortonormalizar os vetores que geram .

Passo 2

Primeiro, vamos nomear nossos vetores geradores:
v1 = (1, 1, 1) e v2 = (1, -2, 3)
O Processo de Gram-Schmidt começa com a normalização do primeiro vetor para obter o primeiro vetor da base ortonormal.

Passo 3

Para normalizar |v1| = raizlang<= v1, v1 rang<= = raiz1 cdot 1 + 2 cdot 1 cdot 1 + 1 cdot 1 = raiz1 + 2 + 1 = raiz4 = 2 , precisamos calcular a norma dele usando o produto interno dado:
u1 = v1|v1| = ( 12, 12, 12 )
Então, o primeiro vetor ortonormal é:

Passo 4

Agora, vamos tornar proju1 v2 = lang<= v2, u1 rang<= u1 ortogonal a lang<= v2, u1 rang<= = 1 cdot 12 + 2 cdot (-2) cdot 12 + 3 cdot 12 = 12 - 2 + 32 = 0 . Para isso, calculamos o componente de na direção de :
Primeiro, calculamos o produto interno:
Como o produto interno é zero, já é ortogonal a .

Passo 5

Como |v2| = raizlang<= v2, v2 rang<= = raiz1 cdot 1 + 2 cdot (-2) cdot (-2) + 3 cdot 3 = raiz1 + 8 + 9 = raiz18 = 3raiz2 já é ortogonal a u2 = v2|v2| = ( 13raiz2, -23raiz2, 33raiz2 ) = ( 13raiz2, -23raiz2, 1raiz2 ) , só precisamos normalizá-lo para obter o segundo vetor da base ortonormal:
Então, o segundo vetor ortonormal é:

Resposta

A base ortonormal de u1 = ( 12, 12, 12 ) e u2 = ( 13raiz2, -23raiz2, 1raiz2 ) é composta pelos vetores:

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