Determinar uma base ortonormal do sub-espaço
do
relação ao produto interno dado por:
para todo par de vetores
e
do
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar uma base ortonormal para o subespaço
que é gerado pelos vetores
e
no espaço
. Para isso, vamos usar o conceito de produto interno personalizado dado por:
Vamos precisar aplicar o Processo de Gram-Schmidt adaptado a esse produto interno para ortonormalizar os vetores que geram
.
Passo 2
Primeiro, vamos nomear nossos vetores geradores:
O Processo de Gram-Schmidt começa com a normalização do primeiro vetor para obter o primeiro vetor da base ortonormal.
Passo 3
Para normalizar
, precisamos calcular a norma dele usando o produto interno dado:
Então, o primeiro vetor ortonormal é:
Passo 4
Agora, vamos tornar
ortogonal a
. Para isso, calculamos o componente de
na direção de
:
Primeiro, calculamos o produto interno:
Como o produto interno é zero,
já é ortogonal a
.
Passo 5
Como
já é ortogonal a
, só precisamos normalizá-lo para obter o segundo vetor da base ortonormal:
Então, o segundo vetor ortonormal é:
Resposta
A base ortonormal de
é composta pelos vetores:
Exercícios relacionados
[Questão prova] Seja
a transformação linear definida por
(i) Calcule
, onde
é base do
e
é base do
.
(ii) Calcule , onde
é como no item (i) acima e
é a base canônica do
.
(ii) Calcule
Determine a matriz mudança da base
para a base
para o caso abaixo, isto é, determine
,
, em que
e
. Verifique que
.
Mostre que as seguintes aplicações do plano no plano são transformações lineares.
(i) Dilatação (contração): definida por
, onde
.
(ii) Reflexão em torno do Eixo-X: definida por
.
(iii) Reflexão na origem: definida por
.
(iv) Rotação de um ângulo definida por
.
(i) Dilatação (contração):
(ii) Reflexão em torno do Eixo-X:
(iii) Reflexão na origem:
(iv) Rotação de um ângulo
Sejam
e
a) verifique que e
são não colineares e não ortogonais;
a) verifique que