Determinar uma base ortonormal do sub-espaço do relação ao produto interno dado por:
para todo par de vetores e do

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar uma base ortonormal para o subespaço que é gerado pelos vetores e no espaço . Para isso, vamos usar o conceito de produto interno personalizado dado por:
Vamos precisar aplicar o Processo de Gram-Schmidt adaptado a esse produto interno para ortonormalizar os vetores que geram .

Passo 2

Primeiro, vamos nomear nossos vetores geradores:
O Processo de Gram-Schmidt começa com a normalização do primeiro vetor para obter o primeiro vetor da base ortonormal.

Passo 3

Para normalizar , precisamos calcular a norma dele usando o produto interno dado:
Então, o primeiro vetor ortonormal é:

Passo 4

Agora, vamos tornar ortogonal a . Para isso, calculamos o componente de na direção de :
Primeiro, calculamos o produto interno:
Como o produto interno é zero, já é ortogonal a .

Passo 5

Como já é ortogonal a , só precisamos normalizá-lo para obter o segundo vetor da base ortonormal:
Então, o segundo vetor ortonormal é:

Resposta

A base ortonormal de é composta pelos vetores:

Exercícios relacionados

[Questão prova] Seja a transformação linear definida por
(i) Calcule , onde é base do e é base do .
(ii) Calcule , onde é como no item (i) acima e é a base canônica do .
Determine a matriz mudança da base para a base para o caso abaixo, isto é, determine ,
, em que e . Verifique que .
Mostre que as seguintes aplicações do plano no plano são transformações lineares.
(i) Dilatação (contração): definida por , onde .
(ii) Reflexão em torno do Eixo-X: definida por .
(iii) Reflexão na origem: definida por .
(iv) Rotação de um ângulo definida por .
Sejam e
a) verifique que e são não colineares e não ortogonais;