Determinar uma base ortonormal do sub-espaço
do
relação ao produto interno dado por:
para todo par de vetores
e
do
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar uma base ortonormal para o subespaço
que é gerado pelos vetores
e
no espaço
. Para isso, vamos usar o conceito de produto interno personalizado dado por:
Vamos precisar aplicar o Processo de Gram-Schmidt adaptado a esse produto interno para ortonormalizar os vetores que geram
.
Passo 2
Primeiro, vamos nomear nossos vetores geradores:
O Processo de Gram-Schmidt começa com a normalização do primeiro vetor para obter o primeiro vetor da base ortonormal.
Passo 3
Para normalizar
, precisamos calcular a norma dele usando o produto interno dado:
Então, o primeiro vetor ortonormal é:
Passo 4
Agora, vamos tornar
ortogonal a
. Para isso, calculamos o componente de
na direção de
:
Primeiro, calculamos o produto interno:
Como o produto interno é zero,
já é ortogonal a
.
Passo 5
Como
já é ortogonal a
, só precisamos normalizá-lo para obter o segundo vetor da base ortonormal:
Então, o segundo vetor ortonormal é:
Resposta
A base ortonormal de
é composta pelos vetores: