Determine a matriz mudança da base alpha para a base beta para o caso abaixo, isto é, determine [I]alpha^beta,
I: R^3 R^3, em que alpha=(1,1,1),(0,1,-1),(0,0,1) e beta=(1,2,3),(1,1,0),(1,0,1). Verifique que ([I]beta^alpha)^-1=[I]alpha^beta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para encontrar a matriz de mudança de base de uma base α para uma base β no espaço tridimensional, ou seja, determinar . Isso faz parte do conteúdo de álgebra linear, especificamente sobre mudanças de base e matrizes de transformação. Para resolver isso, vamos precisar das coordenadas dos vetores das bases α e β e entender como converter um conjunto de vetores de uma base para outra.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são as bases α e β:
  • Base α:
  • Base β:
A ideia é expressar cada vetor da base α em termos da base β.

Passo 3

Para encontrar vi = c1 w1 + c2 w2 + c3 w3 , precisamos montar uma matriz cujas colunas são as coordenadas dos vetores de α na base β. Ou seja, para cada vetor em α, queremos achar os escalares tais que:
Vamos resolver isso para cada vetor de α.

Passo 4

Vamos começar com o primeiro vetor da base α: (1,1,1) = c1 (1,2,3) + c2 (1,1,0) + c3 (1,0,1) .
Queremos encontrar c1 + c2 + c3 = 1 2c1 + c2 = 1 3c1 + c3 = 1 tais que:
Isso nos dá um sistema de equações:
Resolvendo esse sistema:
Da segunda equação:
Da terceira equação:
Substituindo na primeira equação:
Simplificando:
Então:
Portanto, as coordenadas de na base β são .

Passo 5

Agora, vamos fazer o mesmo para o segundo vetor da base α: (0,1,-1) = c1 (1,2,3) + c2 (1,1,0) + c3 (1,0,1) .
Procuramos c1 + c2 + c3 = 0 2c1 + c2 = 1 3c1 + c3 = -1 tais que:
Sistema de equações:
Resolvendo:
Da segunda equação:
Da terceira equação:
Substituindo na primeira equação:
Simplificando:
Então:
As coordenadas de na base β são .

Passo 6

Por último, vamos para o terceiro vetor da base α: (0,0,1) = c1 (1,2,3) + c2 (1,1,0) + c3 (1,0,1) .
Procuramos c1 + c2 + c3 = 0 2c1 + c2 = 0 3c1 + c3 = 1 tais que:
Sistema de equações:
Resolvendo:
Da segunda equação:
Da terceira equação:
Substituindo na primeira equação:
Simplificando:
Então:
As coordenadas de na base β são .

Passo 7

Agora que temos as coordenadas de todos os vetores de α na base β, podemos montar a matriz de mudança de base [I]alpha^beta = 14 & 0 & 14 12 & 1 & -12 14 & -1 & 14 . Essa matriz tem como colunas as coordenadas encontradas:

Passo 8

Por fim, vamos verificar que . Sabemos que a matriz de mudança de base de β para α é a inversa da matriz de mudança de base de α para β. Então, se calcularmos a inversa de , deve ser igual a , o que confirma a relação.

Resposta

A matriz de mudança de base de α para β é
[I]alpha^beta = 14 & 0 & 14 12 & 1 & -12 14 & -1 & 14

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