Determine a matriz mudança da base para a base para o caso abaixo, isto é, determine , , em que e . Verifique que .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para encontrar a matriz de mudança de base de uma base α para uma base β no espaço tridimensional, ou seja, determinar . Isso faz parte do conteúdo de álgebra linear, especificamente sobre mudanças de base e matrizes de transformação. Para resolver isso, vamos precisar das coordenadas dos vetores das bases α e β e entender como converter um conjunto de vetores de uma base para outra.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são as bases α e β:
Base α:
Base β:
A ideia é expressar cada vetor da base α em termos da base β.
Passo 3
Para encontrar , precisamos montar uma matriz cujas colunas são as coordenadas dos vetores de α na base β. Ou seja, para cada vetor em α, queremos achar os escalares tais que:
Vamos resolver isso para cada vetor de α.
Passo 4
Vamos começar com o primeiro vetor da base α: .
Queremos encontrar tais que:
Isso nos dá um sistema de equações:
Resolvendo esse sistema:
Da segunda equação:
Da terceira equação:
Substituindo na primeira equação:
Simplificando:
Então:
Portanto, as coordenadas de na base β são .
Passo 5
Agora, vamos fazer o mesmo para o segundo vetor da base α: .
Procuramos tais que:
Sistema de equações:
Resolvendo:
Da segunda equação:
Da terceira equação:
Substituindo na primeira equação:
Simplificando:
Então:
As coordenadas de na base β são .
Passo 6
Por último, vamos para o terceiro vetor da base α: .
Procuramos tais que:
Sistema de equações:
Resolvendo:
Da segunda equação:
Da terceira equação:
Substituindo na primeira equação:
Simplificando:
Então:
As coordenadas de na base β são .
Passo 7
Agora que temos as coordenadas de todos os vetores de α na base β, podemos montar a matriz de mudança de base . Essa matriz tem como colunas as coordenadas encontradas:
Passo 8
Por fim, vamos verificar que . Sabemos que a matriz de mudança de base de β para α é a inversa da matriz de mudança de base de α para β. Então, se calcularmos a inversa de , deve ser igual a , o que confirma a relação.