[Questão prova] Seja a transformação linear definida por
(i) Calcule , onde é base do e é base do .
(ii) Calcule , onde é como no item (i) acima e é a base canônica do .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado fala sobre transformações lineares, que são funções que ligam vetores de um espaço vetorial a outro de forma especial. Aqui, temos uma transformação linear definida por .
Vamos precisar:
  • Conhecer o que são bases em espaços vetoriais.
  • Saber como representar uma transformação linear em termos de matrizes em diferentes bases.
Temos duas partes no exercício:
  1. Calcular a matriz de de uma base para uma base .
  2. Calcular a matriz de de uma base para a base canônica .

Passo 2

Primeiro, vamos entender as bases envolvidas. A base de é composta pelos vetores , e . A base de é formada por e . Já a base é a base canônica de , ou seja, e .
Para encontrar a matriz de em relação a essas bases, vamos precisar:
  • Expressar a imagem dos vetores de na base e na base .
  • Montar a matriz cujas colunas são essas coordenadas.

Passo 3

Vamos começar com a parte (i): calcular .
Primeiro, aplicamos a transformação em cada vetor da base .
Vamos calcular :
Agora, :
E por último, :

Passo 4

Agora, precisamos expressar esses resultados na base .
Para isso, para cada imagem , vamos encontrar coeficientes e tais que:
Isso nos leva ao sistema de equações:
Vamos resolver para cada vetor:
1. Para :
Somando as duas equações:
Substituindo na segunda equação:
Portanto, na base é .
2. Para :
Somando as duas equações:
Substituindo na segunda equação:
Então, na base é .
3. Para :
Somando as duas equações:
Substituindo na segunda equação:
Assim, na base é .

Passo 5

Com as coordenadas encontradas, montamos a matriz . Cada coluna da matriz corresponde às coordenadas das imagens dos vetores da base na base , na ordem dos vetores em .
Portanto:

Passo 6

Agora, vamos para a parte (ii): calcular , onde é a base canônica de .
A base canônica é a base padrão, então expressar na base é direto, pois as coordenadas já estão na base canônica.
Vamos usar os resultados que já calculamos:

Passo 7

Montamos a matriz colocando essas imagens como colunas da matriz, já que estão na base canônica.
Assim:

Resposta

(i) A matriz de na base para é:
(ii) A matriz de na base para a base canônica é:

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Determine a matriz mudança da base para a base para o caso abaixo, isto é, determine ,
, em que e . Verifique que .
Seja uma base do . Sejam definidas por , e . Determine e .
Determinar uma base ortonormal do sub-espaço do relação ao produto interno dado por:
para todo par de vetores e do
Mostre que as seguintes aplicações do plano no plano são transformações lineares.
(i) Dilatação (contração): definida por , onde .
(ii) Reflexão em torno do Eixo-X: definida por .
(iii) Reflexão na origem: definida por .
(iv) Rotação de um ângulo definida por .