[Questão prova] Seja G: R^3 longrightarrow R^2 a transformação linear definida por
G(x, y, z)=(x+2 y-4 z, 2 x+3 y+z)
(i) Calcule [G]B^A, onde A=(0,0,1),(0,1,-1),(1,1,0) é base do R^3 e B=(-1,1),(2,1) é base do R^2.
(ii) Calcule [G]C^A, onde A é como no item (i) acima e C=(1,0),(0,1) é a base canônica do R^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado fala sobre transformações lineares, que são funções que ligam vetores de um espaço vetorial a outro de forma especial. Aqui, temos uma transformação linear definida por .
Vamos precisar:
  • Conhecer o que são bases em espaços vetoriais.
  • Saber como representar uma transformação linear em termos de matrizes em diferentes bases.
Temos duas partes no exercício:
  1. Calcular a matriz de de uma base para uma base .
  2. Calcular a matriz de de uma base para a base canônica .

Passo 2

Primeiro, vamos entender as bases envolvidas. A base de é composta pelos vetores , e . A base de é formada por e . Já a base é a base canônica de , ou seja, e .
Para encontrar a matriz de em relação a essas bases, vamos precisar:
  • Expressar a imagem dos vetores de na base e na base .
  • Montar a matriz cujas colunas são essas coordenadas.

Passo 3

Vamos começar com a parte (i): calcular G(0,0,1) = (0 + 2 cdot 0 - 4 cdot 1, 2 cdot 0 + 3 cdot 0 + 1) = (-4, 1) .
Primeiro, aplicamos a transformação G(0,1,-1) = (0 + 2 cdot 1 - 4 cdot (-1), 2 cdot 0 + 3 cdot 1 + (-1)) = (2 + 4, 0 + 3 -1) = (6, 2) em cada vetor da base G(1,1,0) = (1 + 2 cdot 1 - 4 cdot 0, 2 cdot 1 + 3 cdot 1 + 0) = (1 + 2, 2 + 3) = (3, 5) .
Vamos calcular :
Agora, :
E por último, :

Passo 4

Agora, precisamos expressar esses resultados na base G(v) = a cdot (-1,1) + b cdot (2,1) .
Para isso, para cada imagem - a + 2b = primeira coordenada de G(v) a + b = segunda coordenada de G(v) , vamos encontrar coeficientes - a + 2b = -4 a + b = 1 e (-a + 2b) + (a + b) = -4 + 1 3b = -3 Rightarrow b = -1 tais que:
a -1 = 1 Rightarrow a = 2
Isso nos leva ao sistema de equações:
- a + 2b = 6 a + b = 2
Vamos resolver para cada vetor:
1. Para (-a + 2b) + (a + b) = 6 + 2 3b = 8 Rightarrow b = 83 :
a + 83 = 2 Rightarrow a = 2 - 83 = -23
Somando as duas equações:
- a + 2b = 3 a + b = 5
Substituindo (-a + 2b) + (a + b) = 3 + 5 3b = 8 Rightarrow b = 83 na segunda equação:
a + 83 = 5 Rightarrow a = 5 - 83 = 73
Portanto, na base é .
2. Para :
Somando as duas equações:
Substituindo na segunda equação:
Então, na base é .
3. Para :
Somando as duas equações:
Substituindo na segunda equação:
Assim, na base é .

Passo 5

Com as coordenadas encontradas, montamos a matriz [G]B^A = 2 & -23 & 73 -1 & 83 & 83 . Cada coluna da matriz corresponde às coordenadas das imagens dos vetores da base na base , na ordem dos vetores em .
Portanto:

Passo 6

Agora, vamos para a parte (ii): calcular , onde é a base canônica de .
A base canônica é a base padrão, então expressar na base é direto, pois as coordenadas já estão na base canônica.
Vamos usar os resultados que já calculamos:

Passo 7

Montamos a matriz [G]C^A = -4 & 6 & 3 1 & 2 & 5 colocando essas imagens como colunas da matriz, já que estão na base canônica.
Assim:

Resposta

(i) A matriz de [G]B^A = 2 & -dfrac23 & dfrac73 -1 & dfrac83 & dfrac83 na base [G]C^A = -4 & 6 & 3 1 & 2 & 5 para é:
(ii) A matriz de na base para a base canônica é:

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