[Questão prova] Seja a transformação linear definida por
(i) Calcule , onde é base do e é base do .
(ii) Calcule , onde é como no item (i) acima e é a base canônica do .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado fala sobre transformações lineares, que são funções que ligam vetores de um espaço vetorial a outro de forma especial. Aqui, temos uma transformação linear definida por .
Vamos precisar:
Conhecer o que são bases em espaços vetoriais.
Saber como representar uma transformação linear em termos de matrizes em diferentes bases.
Temos duas partes no exercício:
Calcular a matriz de de uma base para uma base .
Calcular a matriz de de uma base para a base canônica .
Passo 2
Primeiro, vamos entender as bases envolvidas. A base de é composta pelos vetores , e . A base de é formada por e . Já a base é a base canônica de , ou seja, e .
Para encontrar a matriz de em relação a essas bases, vamos precisar:
Expressar a imagem dos vetores de na base e na base .
Montar a matriz cujas colunas são essas coordenadas.
Passo 3
Vamos começar com a parte (i): calcular .
Primeiro, aplicamos a transformação em cada vetor da base .
Vamos calcular :
Agora, :
E por último, :
Passo 4
Agora, precisamos expressar esses resultados na base .
Para isso, para cada imagem , vamos encontrar coeficientes e tais que:
Isso nos leva ao sistema de equações:
Vamos resolver para cada vetor:
1. Para :
Somando as duas equações:
Substituindo na segunda equação:
Portanto, na base é .
2. Para :
Somando as duas equações:
Substituindo na segunda equação:
Então, na base é .
3. Para :
Somando as duas equações:
Substituindo na segunda equação:
Assim, na base é .
Passo 5
Com as coordenadas encontradas, montamos a matriz . Cada coluna da matriz corresponde às coordenadas das imagens dos vetores da base na base , na ordem dos vetores em .
Portanto:
Passo 6
Agora, vamos para a parte (ii): calcular , onde é a base canônica de .
A base canônica é a base padrão, então expressar na base é direto, pois as coordenadas já estão na base canônica.
Vamos usar os resultados que já calculamos:
Passo 7
Montamos a matriz colocando essas imagens como colunas da matriz, já que estão na base canônica.