Seja u um vetor do R^3 perpendicular aos vetores v e w. Sabendo que v e w formam um ângulo de 30^circ e que |u|= 6,|| v |=3 e || w |=3, calcule u cdot(v times w).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de vetores! A gente tem três vetores no espaço tridimensional ( R^3): u, v e w. Sabemos que u é perpendicular tanto a v quanto a w, e que o ângulo entre v e w é de 30^circ. As magnitudes desses vetores são dadas por |u| = 6, |v| = 3 e |w| = 3. Nosso objetivo é calcular o produto escalar u cdot (v times w).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa o produto vetorial v times w. Esse produto resulta em um novo vetor que é perpendicular tanto a v quanto a w. A magnitude desse vetor é dada por:
|v times w| = |v| cdot |w| cdot sin(theta)
onde theta é o ângulo entre v e w.

Passo 3

Agora, sabemos que u é perpendicular a v e a w. Isso significa que u está na mesma direção que v times w ou na direção oposta. Então, quando fizermos o produto escalar u cdot (v times w), vamos multiplicar as magnitudes dos dois vetores e o cosseno do ângulo entre eles. Como estão alinhados ou opostos, o cosseno será 1 ou -1.

Passo 4

Vamos calcular a magnitude do produto vetorial v times w:
|v times w| = 3 cdot 3 cdot sin(30^circ) = 9 cdot 12 = 4,5
Então, |v times w| = 4,5.

Passo 5

Agora, calculamos o produto escalar u cdot (v times w):
u cdot (v times w) = |u| cdot |v times w| cdot cos(0^circ) = 6 cdot 4,5 cdot 1 = 27
Como u e v times w estão na mesma direção, cos(0^circ) = 1.

Resposta

u cdot (v times w) = 27

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