Determine o ângulo agudo entre as retas r:cx=1+2 t y=2-t z=3+t e s:arraylx=4+t y=2+t z=5+t

Passo 1

Beleza, então a gente tem um exercício que pede para encontrar o ângulo agudo entre duas retas no espaço. As retas são dadas pelas suas equações paramétricas:
r: x = 1 + 2t y = 2 - t z = 3 + t e s: x = 4 + t y = 2 + t z = 5 + t
O conteúdo que vamos usar aqui envolve vetores e como calcular o ângulo entre eles usando o produto escalar. Vamos precisar identificar os vetores diretores das retas e aplicar a fórmula do ângulo entre dois vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os vetores diretores das retas u = 2 -1 1 e v = 1 1 1 . Nas equações paramétricas, os coeficientes de indicam a direção das retas.
Para a reta :
Para a reta :

Passo 3

Agora que temos os vetores diretores, vamos usar a fórmula para encontrar o ângulo entre dois vetores. A fórmula do cosseno do ângulo cos(theta) = u cdot v|u| cdot |v| é dada por:
Onde:
  • é o produto escalar dos vetores.
  • e são as magnitudes (ou módulos) dos vetores.

Passo 4

Vamos calcular o produto escalar u cdot v = (2)(1) + (-1)(1) + (1)(1) = 2 - 1 + 1 = 2 :
|u| = raiz2^2 + (-1)^2 + 1^2 = raiz4 + 1 + 1 = raiz6
Agora, vamos calcular as magnitudes dos vetores:
|v| = raiz1^2 + 1^2 + 1^2 = raiz1 + 1 + 1 = raiz3

Passo 5

Substituindo na fórmula do cosseno:
cos(theta) = 2raiz6 cdot raiz3 = 2raiz18 = 23raiz2 = 2raiz26 = raiz23
Agora, para encontrar o ângulo theta = arccos(raiz23) , vamos usar a função arco cosseno:

Resposta

O ângulo agudo entre as retas e é aproximadamente .

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