Determine o ângulo agudo entre as retas s:arraylx=4+t y=2+t z=5+t
Passo 1
Beleza, então a gente tem um exercício que pede para encontrar o ângulo agudo entre duas retas no espaço. As retas são dadas pelas suas equações paramétricas:
r: x = 1 + 2t y = 2 - t z = 3 + t e s: x = 4 + t y = 2 + t z = 5 + t
O conteúdo que vamos usar aqui envolve vetores e como calcular o ângulo entre eles usando o produto escalar. Vamos precisar identificar os vetores diretores das retas e aplicar a fórmula do ângulo entre dois vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os vetores diretores das retas u = 2 -1 1 e v = 1 1 1 . Nas equações paramétricas, os coeficientes de indicam a direção das retas.
Para a reta :
Para a reta :
Passo 3
Agora que temos os vetores diretores, vamos usar a fórmula para encontrar o ângulo entre dois vetores. A fórmula do cosseno do ângulo cos(theta) = u cdot v|u| cdot |v| é dada por:
Onde:
é o produto escalar dos vetores.
e são as magnitudes (ou módulos) dos vetores.
Passo 4
Vamos calcular o produto escalar u cdot v = (2)(1) + (-1)(1) + (1)(1) = 2 - 1 + 1 = 2 :