Mostre que os vetores u=(5,1) e v=(-1,5) geram o R^2

Passo 1

Beleza, vamos ver o que a questão está pedindo. A gente tem dois vetores, e , e queremos mostrar que eles geram o . Isso significa que qualquer vetor no plano pode ser formado combinando esses dois vetores de alguma maneira.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa gerar . Basicamente, se dois vetores geram , então qualquer vetor no plano pode ser escrito como uma combinação linear desses vetores. Ou seja, existe um jeito de multiplicar e por alguns números (chamamos esses números de escalares) para chegar em qualquer ponto do plano.

Passo 3

Para mostrar que e geram , precisamos provar que eles são linearmente independentes. Isso quer dizer que nenhum dos vetores pode ser escrito como múltiplo do outro. Uma maneira fácil de verificar isso é calculando o determinante da matriz formada por esses vetores. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são linearmente independentes e, portanto, geram .

Passo 4

Vamos montar a matriz com A = 5 & -1 1 & 5 e det(A) = (5)(5) - (-1)(1) = 25 + 1 = 26 como colunas:
Agora, calculamos o determinante dessa matriz:

Passo 5

Vimos que o determinante é 26, que é diferente de zero. Isso confirma que os vetores e são linearmente independentes. Portanto, eles realmente geram todo o espaço .

Resposta

Os vetores e geram o porque são linearmente independentes, já que o determinante da matriz formada por eles é diferente de zero ( ).

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20.1 A=[lll1 & 1 & 2 1 & 2 & 1 2 & 1 & 1]
Considere as afirmações sobre lógica propositiva e sua análise por meio de tabelas-verdade. Analise as afirmativas abaixo, dê valores Verdadeiro (V) ou Falso (F).
( ) A conjunção (e, wed>=) entre duas proposições p e q, só é verdadeira se ambas forem verdadeiras.
11a
Considere as afirmações sobre lógica propositiva e sua análise por meio de tabelas-verdade. Analise as afirmativas abaixo, dê valores Verdadeiro (V) ou Falso (F). A conjunção (e, wed>=) entre duas proposições p e q, só é verdadeira se ambas forem verdadeiras.
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