Beleza, vamos ver o que a questão está pedindo. A gente tem dois vetores, e , e queremos mostrar que eles geram o . Isso significa que qualquer vetor no plano pode ser formado combinando esses dois vetores de alguma maneira.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa gerar. Basicamente, se dois vetores geram , então qualquer vetor no plano pode ser escrito como uma combinação linear desses vetores. Ou seja, existe um jeito de multiplicar e por alguns números (chamamos esses números de escalares) para chegar em qualquer ponto do plano.
Passo 3
Para mostrar que e geram , precisamos provar que eles são linearmente independentes. Isso quer dizer que nenhum dos vetores pode ser escrito como múltiplo do outro. Uma maneira fácil de verificar isso é calculando o determinante da matriz formada por esses vetores. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são linearmente independentes e, portanto, geram .
Passo 4
Vamos montar a matriz com e como colunas:
Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
Passo 5
Vimos que o determinante é 26, que é diferente de zero. Isso confirma que os vetores e são linearmente independentes. Portanto, eles realmente geram todo o espaço .
Resposta
Os vetores e geram o porque são linearmente independentes, já que o determinante da matriz formada por eles é diferente de zero ().