Mostre que os vetores
e
geram o
Passo 1
Beleza, vamos ver o que a questão está pedindo. A gente tem dois vetores,
e
, e queremos mostrar que eles geram o
. Isso significa que qualquer vetor no plano pode ser formado combinando esses dois vetores de alguma maneira.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa gerar
. Basicamente, se dois vetores geram
, então qualquer vetor
no plano pode ser escrito como uma combinação linear desses vetores. Ou seja, existe um jeito de multiplicar
e
por alguns números (chamamos esses números de escalares) para chegar em qualquer ponto do plano.
Passo 3
Para mostrar que
e
geram
, precisamos provar que eles são linearmente independentes. Isso quer dizer que nenhum dos vetores pode ser escrito como múltiplo do outro. Uma maneira fácil de verificar isso é calculando o determinante da matriz formada por esses vetores. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são linearmente independentes e, portanto, geram
.
Passo 4
Vamos montar a matriz com
e
como colunas:
Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
Passo 5
Vimos que o determinante é 26, que é diferente de zero. Isso confirma que os vetores
e
são linearmente independentes. Portanto, eles realmente geram todo o espaço
.
Resposta
Os vetores
e
geram o
porque são linearmente independentes, já que o determinante da matriz formada por eles é diferente de zero (
).