Determinar, caso exista, o ponto de interseção das retas r1 e r2 :
a) r1:ly=2 x-3 z=-x+5 e r2ly=-3 x+7 z=x+1
b) r1: x-32=y+1-3=z-24 e r2:lx=-1+t y=4-t z=-8+3 t
c) r1:ly=2 x-3 z=-x-10 e r2: x=y-43=z+1-2
d) r1:lx=2-t y=3-5 t z=6-6 t e r2:lx=-3+6 h y=1+7 h z=-1+13 h
e) r1:(x, y, z)=(2,4,1)+t(1,-2,3) e r2:(x, y, z)=(-1,2,5)+t(4,3,-2)
f) r1:lx=2+t y=4-t z=-t e r2:ly=6-x z=2-x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a parte a) do exercício. Temos duas retas, r1 e r2, definidas por equações que relacionam y e z com x. Nosso objetivo é descobrir se essas retas se cruzam em algum ponto e, se sim, qual é esse ponto. Para isso, vamos usar o sistema de equações, que é uma ferramenta matemática para resolver esse tipo de problema.

Passo 2

Primeiro, vamos igualar as expressões de y das duas retas. Da reta r1, temos y = 2x - 3, e da reta r2, temos y = -3x + 7. Igualando as duas expressões:
2x - 3 = -3x + 7

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação para encontrar o valor de x. Vamos somar 3x em ambos os lados para juntar os termos com x:
2x + 3x - 3 = 7 5x - 3 = 7
Em seguida, adicionamos 3 em ambos os lados:
5x = 10
Finalmente, dividimos por 5:
x = 2

Passo 4

Com o valor de x encontrado ( x = 2), vamos substituir esse valor em uma das equações para encontrar y. Vamos usar a equação da reta r1:
y = 2(2) - 3 y = 4 - 3 y = 1

Passo 5

Agora, vamos encontrar o valor de z. Podemos usar a equação da reta r1 para isso:
z = -x + 5 z = -2 + 5 z = 3

Passo 6

Por último, vamos verificar se os valores encontrados satisfazem as equações da reta r2. Substituindo x = 2 em r2:
Para y:
y = -3(2) + 7 y = -6 + 7 y = 1
Para z:
z = 2 + 1 z = 3
Como os valores conferem, isso confirma que o ponto encontrado está nas duas retas.

Resposta

As retas r1 e r2 se interceptam no ponto (2, 1, 3).

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