Para quais das seguintes definiçōes pode-se afirmar que é um espaço vetorial? Justifique sua resposta. e
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para verificarmos se o conjunto , com as operações de adição e multiplicação por escalar definidas da seguinte forma:
é um espaço vetorial. Para isso, vamos usar o conteúdo de Espaços Vetoriais e verificar se todas as regras (axiomas) que definem um espaço vetorial são satisfeitas com essas operações.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial é um conjunto de vetores que satisfaz dez axiomas fundamentais relacionados à adição de vetores e à multiplicação por escalares. Vamos verificar cada um deles passo a passo.
Passo 3
Axioma 1: Fechamento da Adição
Precisamos ver se ao somar dois vetores de , o resultado também pertence a .
Dado e , temos:
Esse resultado está na forma de , então o fechamento da adição está ok.
Passo 4
Axioma 2: Comutatividade da Adição
A adição deve ser comutativa, ou seja, .
Vamos calcular:
Então, a comutatividade da adição é satisfeita.
Passo 5
Axioma 3: Associatividade da Adição
A adição deve ser associativa, ou seja, .
Calculando ambos os lados:
Os dois lados são iguais, então a associatividade da adição está ok.
Passo 6
Axioma 4: Elemento Neutro da Adição
Existe um vetor zero tal que .
Vamos verificar:
Então, o elemento neutro existe e está correto.
Passo 7
Axioma 5: Elemento Oposto da Adição
Para todo vetor , existe um vetor tal que .
Vamos encontrar :
Então, o elemento oposto existe e está correto.
Passo 8
Axioma 6: Fechamento da Multiplicação por Escalar
Para qualquer escalar e vetor , o produto deve estar em .
Dado , o resultado está na forma de , então o fechamento está ok.
Passo 9
Axioma 7: Associatividade da Multiplicação por Escalar
Devemos ter .
Calculando ambos:
Os dois lados são iguais, então a associatividade está satisfeita.
Passo 10
Axioma 8: Elemento Neutro da Multiplicação por Escalar
Deve existir um escalar tal que .
Vamos verificar:
Então, o elemento neutro da multiplicação por escalar existe e está correto.
Passo 11
Axioma 9: Distributividade da Multiplicação por Escalar em Relação à Adição de Vetores
Deve-se ter .
Calculando ambos:
Comparando:
Isso é verdadeiro, então a distributividade está satisfeita.
Passo 12
Axioma 10: Distributividade da Multiplicação por Escalar em Relação à Adição de Escalares
Deve-se ter .
Vamos verificar:
Aqui, vemos que:
Então, o axioma não é satisfeito.
Resposta
Como o axioma 10 não é satisfeito, o conjunto com as operações definidas não é um espaço vetorial.