Para quais das seguintes definiçōes pode-se afirmar que E é um espaço vetorial? Justifique sua resposta. u+v=(x1+x2, y1+y2) e alpha u=(x1, alpha y1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para verificarmos se o conjunto u + v = (x1 + x2, y1 + y2) , com as operações de adição e multiplicação por escalar definidas da seguinte forma:
alpha u = (x1, alpha y1)
é um espaço vetorial. Para isso, vamos usar o conteúdo de Espaços Vetoriais e verificar se todas as regras (axiomas) que definem um espaço vetorial são satisfeitas com essas operações.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial é um conjunto de vetores que satisfaz dez axiomas fundamentais relacionados à adição de vetores e à multiplicação por escalares. Vamos verificar cada um deles passo a passo.

Passo 3

Axioma 1: Fechamento da Adição
Precisamos ver se ao somar dois vetores de u + v = (x1 + x2, y1 + y2) , o resultado também pertence a .
Dado e , temos:
Esse resultado está na forma de , então o fechamento da adição está ok.

Passo 4

Axioma 2: Comutatividade da Adição
A adição deve ser comutativa, ou seja, u + v = (x1 + x2, y1 + y2) = (x2 + x1, y2 + y1) = v + u .
Vamos calcular:
Então, a comutatividade da adição é satisfeita.

Passo 5

Axioma 3: Associatividade da Adição
A adição deve ser associativa, ou seja, (u + v) + w = (x1 + x2, y1 + y2) + (x3, y3) = (x1 + x2 + x3, y1 + y2 + y3) .
Calculando ambos os lados:
u + (v + w) = (x1, y1) + (x2 + x3, y2 + y3) = (x1 + x2 + x3, y1 + y2 + y3)
Os dois lados são iguais, então a associatividade da adição está ok.

Passo 6

Axioma 4: Elemento Neutro da Adição
Existe um vetor zero u + 0 = (x1, y1) + (0, 0) = (x1 + 0, y1 + 0) = (x1, y1) = u tal que .
Vamos verificar:
Então, o elemento neutro existe e está correto.

Passo 7

Axioma 5: Elemento Oposto da Adição
Para todo vetor u + (-u) = (x1 + (-x1), y1 + (-y1)) = (0, 0) = 0 , existe um vetor tal que .
Vamos encontrar :
Então, o elemento oposto existe e está correto.

Passo 8

Axioma 6: Fechamento da Multiplicação por Escalar
Para qualquer escalar e vetor , o produto deve estar em .
Dado , o resultado está na forma de , então o fechamento está ok.

Passo 9

Axioma 7: Associatividade da Multiplicação por Escalar
Devemos ter alpha (beta u) = alpha (x1, beta y1) = (x1, alpha (beta y1)) = (x1, (alpha beta) y1) .
Calculando ambos:
(alpha beta) u = (alpha beta) (x1, y1) = (x1, (alpha beta) y1)
Os dois lados são iguais, então a associatividade está satisfeita.

Passo 10

Axioma 8: Elemento Neutro da Multiplicação por Escalar
Deve existir um escalar 1 cdot u = (x1, 1 cdot y1) = (x1, y1) = u tal que .
Vamos verificar:
Então, o elemento neutro da multiplicação por escalar existe e está correto.

Passo 11

Axioma 9: Distributividade da Multiplicação por Escalar em Relação à Adição de Vetores
Deve-se ter alpha (u + v) = alpha (x1 + x2, y1 + y2) = (x1 + x2, alpha (y1 + y2)) .
Calculando ambos:
alpha u + alpha v = (x1, alpha y1) + (x2, alpha y2) = (x1 + x2, alpha y1 + alpha y2)
(x1 + x2, alpha (y1 + y2)) = (x1 + x2, alpha y1 + alpha y2)
Comparando:
Isso é verdadeiro, então a distributividade está satisfeita.

Passo 12

Axioma 10: Distributividade da Multiplicação por Escalar em Relação à Adição de Escalares
Deve-se ter (alpha + beta) u = (alpha + beta) (x1, y1) = (x1, (alpha + beta) y1) .
Vamos verificar:
alpha u + beta u = (x1, alpha y1) + (x1, beta y1) = (x1 + x1, alpha y1 + beta y1) = (2x1, (alpha + beta) y1)
(alpha + beta) u = (x1, (alpha + beta) y1) neq (2x1, (alpha + beta) y1) = alpha u + beta u
Aqui, vemos que:
Então, o axioma não é satisfeito.

Resposta

Como o axioma 10 não é satisfeito, o conjunto com as operações definidas não é um espaço vetorial.

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