Em vez de usar as definiçöes usuais de soma e multiplicação por escalar em R^3, defina essas duas operações, como mostrado abaixo.
(a)
(x1, y1, z1) & +(x2, y2, z2) & =(x1+x2, y1+y2, z1+z2) c(x, y, z) & =(c x, c y, 0)
(b)
(x1, y1, z1)+(x2, y2, z2) & =(0,0,0) c(x, y, z) & =(c x, c y, c z)
©
(x1, y1, z1) & +(x2, y2, z2) & =(x1+1, y1+y2+1, z1+z2+1) c(x, y, z) & =(c x, c y, c z)
(d)
(x1, y1, z1) & +(x2, y2, z2) & =(x1+1, y1+y2+1, z1+z2+1) c(x, y, z) & =(c x+c-1, c y,+c-1, c z+c-1)
Com cada uma dessas novas definições, R^3 é um espaço vetorial? Justifique suas respostas.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. A gente tem o espaço tridimensional , mas com definições diferentes para soma e multiplicação por escalar em cada letra de (a) a (d). Nosso objetivo é verificar para cada caso se, com essas novas definições, continua sendo um espaço vetorial. Para isso, vamos precisar conhecer os axiomas que definem um espaço vetorial e ver se eles são satisfeitos em cada situação.

Passo 2

Vamos começar com a letra (a). Aqui, a soma de dois vetores é a soma componente a componente, ou seja:
(x1, y1, z1) + (x2, y2, z2) = (x1+x2, y1+y2, z1+z2)
E a multiplicação por escalar é:
c(x, y, z) = (c x, c y, 0)
Análise:
Para ser um espaço vetorial, algumas condições precisam ser atendidas, como a existência de um elemento neutro para a soma, existência de inversos, distributividade, etc.
No caso da multiplicação por escalar definida como acima, percebemos que o terceiro componente sempre vira zero, independentemente do escalar . Isso já causa problemas, por exemplo, o vetor multiplicado por qualquer escalar sempre resulta em , o vetor nulo. Isso significa que não conseguimos voltar a qualquer vetor com , o que quebra a existência de inversos.

Passo 3

Passando para a letra (b). Aqui, a soma é definida como sempre dando o vetor nulo:
(x1, y1, z1) + (x2, y2, z2) = (0,0,0)
E a multiplicação por escalar é:
c(x, y, z) = (c x, c y, c z)
Análise:
Embora a multiplicação por escalar pareça padrão, a definição de soma está totalmente errada. Então, por exemplo, se somarmos qualquer vetor com ele mesmo, não obtemos o vetor duplicado, mas sim o vetor nulo. Isso claramente viola o axioma da existência do elemento neutro (que seria ), mas também outros axiomas relacionados à adição.

Passo 4

Agora, vamos para a letra ©. A soma está definida como:
(x1, y1, z1) + (x2, y2, z2) = (x1+1, y1+y2+1, z1+z2+1)
E a multiplicação por escalar é:
c(x, y, z) = (c x, c y, c z)
Análise:
A soma definida aqui adiciona 1 a cada componente após somar as correspondentes, o que significa que . Isso já impede a existência do vetor nulo sendo neutro para a soma, já que somar qualquer vetor com o nulo não retorna o próprio vetor, mas sim outro. Portanto, os axiomas de espaço vetorial não são satisfeitos.

Passo 5

Por último, a letra (d). A soma é:
(x1, y1, z1) + (x2, y2, z2) = (x1+1, y1+y2+1, z1+z2+1)
E a multiplicação por escalar é:
c(x, y, z) = (c x + c - 1, c y + c - 1, c z + c - 1)
Análise:
Aqui, tanto a soma quanto a multiplicação por escalar adicionam constantes além das operações usuais. Por exemplo, o vetor nulo seria , mas somando qualquer vetor com ele, não obtemos o próprio vetor, mas sim . Além disso, a multiplicação por escalar não preserva a estrutura linear necessária, já que adiciona a cada componente, o que faz com que as propriedades distributivas e de existência de inversos não sejam atendidas.

Resposta

Em nenhuma das definições apresentadas (a, b, c, d), forma um espaço vetorial.

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