Com cada uma dessas novas definições, é um espaço vetorial? Justifique suas respostas.
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. A gente tem o espaço tridimensional , mas com definições diferentes para soma e multiplicação por escalar em cada letra de (a) a (d). Nosso objetivo é verificar para cada caso se, com essas novas definições, continua sendo um espaço vetorial. Para isso, vamos precisar conhecer os axiomas que definem um espaço vetorial e ver se eles são satisfeitos em cada situação.
Passo 2
Vamos começar com a letra (a). Aqui, a soma de dois vetores é a soma componente a componente, ou seja:
E a multiplicação por escalar é:
Análise:
Para ser um espaço vetorial, algumas condições precisam ser atendidas, como a existência de um elemento neutro para a soma, existência de inversos, distributividade, etc.
No caso da multiplicação por escalar definida como acima, percebemos que o terceiro componente sempre vira zero, independentemente do escalar . Isso já causa problemas, por exemplo, o vetor multiplicado por qualquer escalar sempre resulta em , o vetor nulo. Isso significa que não conseguimos voltar a qualquer vetor com , o que quebra a existência de inversos.
Passo 3
Passando para a letra (b). Aqui, a soma é definida como sempre dando o vetor nulo:
E a multiplicação por escalar é:
Análise:
Embora a multiplicação por escalar pareça padrão, a definição de soma está totalmente errada. Então, por exemplo, se somarmos qualquer vetor com ele mesmo, não obtemos o vetor duplicado, mas sim o vetor nulo. Isso claramente viola o axioma da existência do elemento neutro (que seria ), mas também outros axiomas relacionados à adição.
A soma definida aqui adiciona 1 a cada componente após somar as correspondentes, o que significa que . Isso já impede a existência do vetor nulo sendo neutro para a soma, já que somar qualquer vetor com o nulo não retorna o próprio vetor, mas sim outro. Portanto, os axiomas de espaço vetorial não são satisfeitos.
Passo 5
Por último, a letra (d). A soma é:
E a multiplicação por escalar é:
Análise:
Aqui, tanto a soma quanto a multiplicação por escalar adicionam constantes além das operações usuais. Por exemplo, o vetor nulo seria , mas somando qualquer vetor com ele, não obtemos o próprio vetor, mas sim . Além disso, a multiplicação por escalar não preserva a estrutura linear necessária, já que adiciona a cada componente, o que faz com que as propriedades distributivas e de existência de inversos não sejam atendidas.
Resposta
Em nenhuma das definições apresentadas (a, b, c, d), forma um espaço vetorial.