Determinar o centro e o raio da circunferência r^2-4 r cos (theta-pi4)- 12=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinarmos o centro e o raio de uma circunferência dada pela equação . Vamos usar conceitos de coordenadas polares para resolver isso. Precisaremos lembrar como converter equações polares para a forma padrão de uma circunferência.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a identificação dos termos. Temos:
r^2 - 4r cos (theta - pi4) - 12 = 0
Vamos isolar r^2 = 4r cos (theta - pi4) + 12 :

Passo 3

Sabemos que a equação geral de uma circunferência em coordenadas polares é:
r^2 - 2r r0 cos(theta - theta0) + r0^2 = a^2
onde r^2 = 4r cos (theta - pi4) + 12 são as coordenadas polares do centro, e r^2 - 4r cos (theta - pi4) = 12 é o raio.
Comparando com nossa equação:
Podemos reescrever como:

Passo 4

Agora, para encaixar na forma padrão, identificamos que:
2r0 = 4 Rightarrow r0 = 2
e
theta0 = pi4
Então, o centro da circunferência em coordenadas polares é .

Passo 5

Para encontrar o raio r^2 - 2r r0 cos(theta - theta0) + r0^2 = a^2 , usamos a parte constante da equação. Na forma padrão:
r^2 - 4r cos (theta - pi4) = 12
Comparando com:
r0^2 = 12 Rightarrow a = raiz12 = 2raiz3
Temos que:

Resposta

O centro da circunferência está nas coordenadas polares e o raio é .

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