Sejam e . Determine se pertence a e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir se o vetor pertence ao Espaço Colunar de , que a gente escreve como , e também se ele está no Núcleo de , ou seja, . Para resolver isso, a gente vai precisar entender o que são esses conceitos e como verificar se um vetor está em cada um deles.

Passo 2

Primeiro, vamos ver se está em . O Espaço Colunar de é formado por todas as combinações lineares das colunas de . Ou seja, queremos saber se existe algum vetor tal que:
Isso significa que vamos montar um sistema de equações para resolver:

$$

$$
Que se traduz em:
Vamos resolver esse sistema. Observando as equações, percebemos que a segunda equação é metade da primeira. Isso indica que as duas equações são dependentes e o sistema tem infinitas soluções. Portanto, existe pelo menos um vetor que satisfaz , o que confirma que está em .

Passo 3

Agora, vamos verificar se está em . O Núcleo de é o conjunto de todos os vetores que, quando multiplicados pela matriz , resultam no vetor zero. Ou seja, queremos saber se:
Vamos fazer a multiplicação:

$$
A \cdot \vec{w} =

$$
Como o resultado foi o vetor zero, isso significa que satisfaz a condição para estar no Núcleo de , ou seja, .

Resposta

O vetor pertence tanto ao Espaço Colunar de ( ) quanto ao Núcleo de ( ).

Exercícios relacionados

Calcule , sendo . (Obs: .
Determinar o centro e o raio da circunferência .
Dê as equações polares das seguintes curvas:
  • da hipérbole .
Os pontos abaixo foram fornecidos em coordenadas polares. Passe para coordenas cartesianas:
(iv)