Sejam A=[ll-2 & 4 -1 & 2] e w=[l2 1]. Determine se w pertence a C o l A e N u l A.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir se o vetor w = 2 1 pertence ao Espaço Colunar de A, que a gente escreve como Col A, e também se ele está no Núcleo de A, ou seja, Null A. Para resolver isso, a gente vai precisar entender o que são esses conceitos e como verificar se um vetor está em cada um deles.

Passo 2

Primeiro, vamos ver se w está em Col A. O Espaço Colunar de A é formado por todas as combinações lineares das colunas de A. Ou seja, queremos saber se existe algum vetor x = x1 x2 tal que:
A cdot x = w
Isso significa que vamos montar um sistema de equações para resolver:

$$
-2 & 4 -1 & 2 x1 x2 = 2 1
-2x1 + 4x2 = 2 (1)

-1x1 + 2x2 = 1 (2)
$$
Que se traduz em:
x
A cdot x = w
Vamos resolver esse sistema. Observando as equações, percebemos que a segunda equação é metade da primeira. Isso indica que as duas equações são dependentes e o sistema tem infinitas soluções. Portanto, existe pelo menos um vetor w que satisfaz Col A, o que confirma que está em .

Passo 3

Agora, vamos verificar se w está em Null A. O Núcleo de A é o conjunto de todos os vetores v que, quando multiplicados pela matriz A, resultam no vetor zero. Ou seja, queremos saber se:
A cdot w = 0
Vamos fazer a multiplicação:

$$
A \cdot \vec{w} =
A cdot w = -2 & 4 -1 & 2 2 1 = (-2)(2) + (4)(1) (-1)(2) + (2)(1) = -4 + 4 -2 + 2 = 0 0
w

A

w in Null A

$$
Como o resultado foi o vetor zero, isso significa que satisfaz a condição para estar no Núcleo de , ou seja, .

Resposta

O vetor w pertence tanto ao Espaço Colunar de A ( w in Col A) quanto ao Núcleo de A ( w in Null A).

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