Sejam
e
. Determine se
pertence a
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir se o vetor
pertence ao Espaço Colunar de
, que a gente escreve como
, e também se ele está no Núcleo de
, ou seja,
. Para resolver isso, a gente vai precisar entender o que são esses conceitos e como verificar se um vetor está em cada um deles.
Passo 2
Primeiro, vamos ver se
está em
. O Espaço Colunar de
é formado por todas as combinações lineares das colunas de
. Ou seja, queremos saber se existe algum vetor
tal que:
Isso significa que vamos montar um sistema de equações para resolver:
$$
$$
Que se traduz em:
Vamos resolver esse sistema. Observando as equações, percebemos que a segunda equação é metade da primeira. Isso indica que as duas equações são dependentes e o sistema tem infinitas soluções. Portanto, existe pelo menos um vetor
que satisfaz
, o que confirma que
está em
.
Passo 3
Agora, vamos verificar se
está em
. O Núcleo de
é o conjunto de todos os vetores
que, quando multiplicados pela matriz
, resultam no vetor zero. Ou seja, queremos saber se:
Vamos fazer a multiplicação:
$$
A \cdot \vec{w} =
$$
Como o resultado foi o vetor zero, isso significa que
satisfaz a condição para estar no Núcleo de
, ou seja,
.
Resposta
O vetor
pertence tanto ao Espaço Colunar de
(
) quanto ao Núcleo de
(
).
Exercícios relacionados
Calcule
, sendo
. (Obs:
.
Determinar o centro e o raio da circunferência
.
Dê as equações polares das seguintes curvas:
- da hipérbole
.
Os pontos abaixo foram fornecidos em coordenadas polares. Passe para coordenas cartesianas:
(iv)
(iv)