Uma matriz elementar é uma matriz obtida da matriz identidade aplicando-se uma, e somente uma, operação elementar.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá dizendo. A gente tem que entender o que é uma matriz elementar de tamanho . A definição que foi dada é que uma matriz elementar é obtida a partir da matriz identidade aplicando uma, e só uma, operação elementar. Então, pra resolver isso, vamos precisar saber o que é uma matriz identidade, o que são operações elementares e como elas transformam a matriz identidade em uma matriz elementar.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é a matriz identidade. É uma matriz quadrada onde todos os elementos da diagonal principal são iguais a 1 e os outros elementos são 0. Por exemplo, para :
A matriz identidade funciona como o “1” das matrizes, ou seja, quando a gente multiplica qualquer matriz por ela, a matriz original não muda.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre as operações elementares. Existem três tipos principais:
Troca de linhas: trocar completamente duas linhas da matriz.
Multiplicação de uma linha por um escalar não nulo: multiplicar todos os elementos de uma linha por um número diferente de zero.
Adição de múltiplos de uma linha a outra linha: adicionar um múltiplo de uma linha a outra linha.
Essas operações são usadas para resolver sistemas de equações e para encontrar a inversa de uma matriz, entre outras coisas.
Passo 4
A definição diz que uma matriz elementar é criada aplicando uma única dessas operações na matriz identidade. Vamos ver exemplos para deixar isso mais claro.
Exemplo 1: Troca de linhas
Se trocarmos a primeira e a segunda linhas de , teremos:
Essa é uma matriz elementar obtida pela troca da primeira e segunda linhas.
Exemplo 2: Multiplicação de uma linha por um escalar
Se multiplicarmos a segunda linha de por 5, teremos:
Essa é uma matriz elementar obtida pela multiplicação da segunda linha por 5.
Exemplo 3: Adição de múltiplos de uma linha a outra
Se adicionarmos 3 vezes a primeira linha à terceira linha de , teremos:
Essa é uma matriz elementar obtida pela adição de 3 vezes a primeira linha à terceira linha.
Resposta
Então, uma matriz elementar é basicamente a matriz identidade que foi modificada por uma única operação elementar: troca de linhas, multiplicação de uma linha por um número diferente de zero ou adição de múltiplos de uma linha a outra. Essas matrizes são fundamentais porque representam as transformações básicas que podemos aplicar nas matrizes durante operações como a resolução de sistemas lineares.