Determinar as componentes tangencial e normal da aceleração de uma partícula que se move no espaço, se seu vetor posição em um instante qualquer , for dado por:
Passo 1
Então, a gente tem uma partícula que está se movendo no espaço, e a posição dela em qualquer instante de tempo é dada por:
A gente precisa descobrir as componentes tangencial e normal da aceleração dessa partícula. Para isso, vamos usar conceitos de vetores posição, velocidade e aceleração, além de entender como decompor a aceleração nessas duas componentes.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a velocidade da partícula. A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Então, calculamos .
Derivando cada componente:
Então,
Passo 3
Agora, vamos encontrar a aceleração da partícula, que é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Assim, .
Derivando cada componente:
Para a primeira componente:
Para a segunda componente:
Para a terceira componente:
Então,
Passo 4
Agora que temos a velocidade e a aceleração , precisamos encontrar as componentes tangencial e normal da aceleração.
A componente tangencial é a parte da aceleração que está na direção da velocidade, e pode ser encontrada usando o produto escalar:
Primeiro, vamos calcular o produto escalar :
Simplificando:
Simplificando mais:
Como , temos:
Agora, vamos calcular :
Expandindo os quadrados:
Simplificando:
Então,
Passo 5
Agora, vamos encontrar a componente normal . Essa componente é perpendicular à velocidade e pode ser calculada usando: