Verifique se a função
é contínua em em
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se a função
é contínua no ponto
. Isso envolve entender o que é continuidade e como calcular limites de funções de duas variáveis. Basicamente, para a função ser contínua em
, o limite de
quando
se aproxima de
deve ser igual ao valor da função nesse ponto, que é 0.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa continuidade em um ponto. Uma função
é contínua em
se:
No nosso caso, queremos que:
Passo 3
Para calcular esse limite, uma boa estratégia é usar coordenadas polares. Isso porque, ao converter para polares, conseguimos expressar
e
em termos de
(a distância até a origem) e
(o ângulo), o que simplifica o cálculo do limite quando
.
Temos que:
Substituindo na função:
Passo 4
Vamos simplificar a expressão:
Multiplicando os termos de
:
Agora, podemos simplificar
:
Passo 5
Agora, analisamos o comportamento dessa expressão quando
. Note que o denominador tem um
, então precisamos garantir que o numerador não cresça mais rápido que o denominador.
Vamos estimar os valores:
-
e estão sempre entre -1 e 1. - Portanto,
também é limitado.
Assim, a função fica do tipo constante dividido por
, o que sugere que o limite tende ao infinito, a menos que o numerador se anule.
Passo 6
Para confirmar, vamos tentar caminhos diferentes se aproximando de
:
- Caminho
:
- Caminho
:
- Caminho
, onde :
Quando
, essa expressão tende ao infinito, a menos que
.
Passo 7
Como encontramos que ao longo de alguns caminhos o limite é 0 e em outros tende ao infinito, isso significa que o limite não é único. Para a função ser contínua, o limite deve ser o mesmo independente do caminho escolhido.
Resposta
A função
não é contínua no ponto
, pois o limite de
quando
se aproxima de
não existe ou não é igual ao valor da função nesse ponto.
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, for dado por:
Uma partícula se move ao longo da curva
, dada por
. Determinar: os vetores velocidade e aceleração
Resolva os problemas de valor inicial:
(d)
(d)
Uma partícula move-se ao longo da curva
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