Verifique se a função é contínua em em .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se a função é contínua no ponto . Isso envolve entender o que é continuidade e como calcular limites de funções de duas variáveis. Basicamente, para a função ser contínua em , o limite de quando se aproxima de deve ser igual ao valor da função nesse ponto, que é 0.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa continuidade em um ponto. Uma função é contínua em se:
No nosso caso, queremos que:

Passo 3

Para calcular esse limite, uma boa estratégia é usar coordenadas polares. Isso porque, ao converter para polares, conseguimos expressar e em termos de (a distância até a origem) e (o ângulo), o que simplifica o cálculo do limite quando .
Temos que:
Substituindo na função:

Passo 4

Vamos simplificar a expressão:
Multiplicando os termos de :
Agora, podemos simplificar :

Passo 5

Agora, analisamos o comportamento dessa expressão quando . Note que o denominador tem um , então precisamos garantir que o numerador não cresça mais rápido que o denominador.
Vamos estimar os valores:
  • e estão sempre entre -1 e 1.
  • Portanto, também é limitado.
Assim, a função fica do tipo constante dividido por , o que sugere que o limite tende ao infinito, a menos que o numerador se anule.

Passo 6

Para confirmar, vamos tentar caminhos diferentes se aproximando de :
  1. Caminho :
  1. Caminho :
  1. Caminho , onde :
Quando , essa expressão tende ao infinito, a menos que .

Passo 7

Como encontramos que ao longo de alguns caminhos o limite é 0 e em outros tende ao infinito, isso significa que o limite não é único. Para a função ser contínua, o limite deve ser o mesmo independente do caminho escolhido.

Resposta

A função não é contínua no ponto , pois o limite de quando se aproxima de não existe ou não é igual ao valor da função nesse ponto.

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