Verifique se a função f(x, y)=cl(x y(x-y)x^4+y^4) & se (x, y) neq(0,0) 0 & se (x, y)=(0,0) é contínua em em (0,0).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se a função é contínua no ponto . Isso envolve entender o que é continuidade e como calcular limites de funções de duas variáveis. Basicamente, para a função ser contínua em , o limite de quando se aproxima de deve ser igual ao valor da função nesse ponto, que é 0.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa continuidade em um ponto. Uma função lim(x, y) to (a, b) f(x, y) = f(a, b) é contínua em lim(x, y) to (0,0) x y (x - y)x^4 + y^4 = 0 se:
No nosso caso, queremos que:

Passo 3

Para calcular esse limite, uma boa estratégia é usar coordenadas polares. Isso porque, ao converter para polares, conseguimos expressar x = r cos(theta) y = r sin(theta) e f(r, theta) = r cos(theta) cdot r sin(theta) cdot (r cos(theta) - r sin(theta))(r cos(theta))^4 + (r sin(theta))^4 em termos de (a distância até a origem) e (o ângulo), o que simplifica o cálculo do limite quando .
Temos que:
Substituindo na função:

Passo 4

Vamos simplificar a expressão:
f(r, theta) = r^2 cos(theta) sin(theta) cdot r (cos(theta) - sin(theta))r^4 (cos^4(theta) + sin^4(theta))
Multiplicando os termos de f(r, theta) = r^3 cos(theta) sin(theta) (cos(theta) - sin(theta))r^4 (cos^4(theta) + sin^4(theta)) :
f(r, theta) = cos(theta) sin(theta) (cos(theta) - sin(theta))r (cos^4(theta) + sin^4(theta))
Agora, podemos simplificar :

Passo 5

Agora, analisamos o comportamento dessa expressão quando . Note que o denominador tem um , então precisamos garantir que o numerador não cresça mais rápido que o denominador.
Vamos estimar os valores:
  • e estão sempre entre -1 e 1.
  • Portanto, também é limitado.
Assim, a função fica do tipo constante dividido por , o que sugere que o limite tende ao infinito, a menos que o numerador se anule.

Passo 6

Para confirmar, vamos tentar caminhos diferentes se aproximando de f(x, x) = x cdot x (x - x)x^4 + x^4 = x^2 cdot 02x^4 = 0 :
  1. Caminho f(x, 0) = x cdot 0 (x - 0)x^4 + 0 = 0 :
f(x, kx) = x cdot kx (x - kx)x^4 + (k x)^4 = k x^2 (1 - k) xx^4(1 + k^4) = k (1 - k)x^1(1 + k^4)
  1. Caminho :
  1. Caminho , onde :
Quando , essa expressão tende ao infinito, a menos que .

Passo 7

Como encontramos que ao longo de alguns caminhos o limite é 0 e em outros tende ao infinito, isso significa que o limite não é único. Para a função ser contínua, o limite deve ser o mesmo independente do caminho escolhido.

Resposta

A função não é contínua no ponto , pois o limite de quando se aproxima de não existe ou não é igual ao valor da função nesse ponto.

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