Uma partícula se move ao longo da curva C, dada por r(t) = t^2 i + t^3 j + k. Determinar: os vetores velocidade e aceleração

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma partícula que se move ao longo de uma curva , definida pela posição vetorial . O que a gente precisa descobrir aqui são os vetores de velocidade e aceleração dessa partícula. Para isso, vamos usar cálculo vetorial, especificamente derivadas, porque a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo, e a aceleração é a derivada da velocidade.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o vetor velocidade . A velocidade é a derivada do vetor posição em relação ao tempo .
A posição é dada por:
Vamos derivar cada componente em relação ao :
  • Derivada de em relação a é
  • Derivada de em relação a é
  • Derivada de (que é uma constante) em relação a é
Assim, o vetor velocidade fica:

Passo 3

Agora, vamos encontrar o vetor aceleração . A aceleração é a derivada do vetor velocidade em relação ao tempo .
A velocidade que encontramos é:
Vamos derivar cada componente em relação ao :
  • Derivada de em relação a é
  • Derivada de em relação a é
Então, o vetor aceleração fica:

Resposta

Os vetores velocidade e aceleração são, respectivamente:

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