Uma partícula se move ao longo da curva
, dada por
. Determinar: os vetores velocidade e aceleração
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma partícula que se move ao longo de uma curva
, definida pela posição vetorial
. O que a gente precisa descobrir aqui são os vetores de velocidade e aceleração dessa partícula. Para isso, vamos usar cálculo vetorial, especificamente derivadas, porque a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo, e a aceleração é a derivada da velocidade.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o vetor velocidade
. A velocidade é a derivada do vetor posição
em relação ao tempo
.
A posição é dada por:
Vamos derivar cada componente em relação ao
:
- Derivada de
em relação a é - Derivada de
em relação a é - Derivada de
(que é uma constante) em relação a é
Assim, o vetor velocidade fica:
Passo 3
Agora, vamos encontrar o vetor aceleração
. A aceleração é a derivada do vetor velocidade
em relação ao tempo
.
A velocidade que encontramos é:
Vamos derivar cada componente em relação ao
:
- Derivada de
em relação a é - Derivada de
em relação a é
Então, o vetor aceleração fica:
Resposta
Os vetores velocidade e aceleração são, respectivamente:
Exercícios relacionados
a) Calcular o vetor
onde
é o vetor velocidade da partícula no instante
.
Encontre as derivadas das seguintes funções:
o)
o)
Determinar as componentes tangencial e normal da aceleração de uma partícula que se move no espaço, se seu vetor posição em um instante qualquer
, for dado por:
Verifique se a função
é contínua em em
.