Uma partícula se move ao longo da curva , dada por . Determinar: os vetores velocidade e aceleração

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma partícula que se move ao longo de uma curva , definida pela posição vetorial . O que a gente precisa descobrir aqui são os vetores de velocidade e aceleração dessa partícula. Para isso, vamos usar cálculo vetorial, especificamente derivadas, porque a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo, e a aceleração é a derivada da velocidade.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o vetor velocidade . A velocidade é a derivada do vetor posição em relação ao tempo .
A posição é dada por:
Vamos derivar cada componente em relação ao :
  • Derivada de em relação a é
  • Derivada de em relação a é
  • Derivada de (que é uma constante) em relação a é
Assim, o vetor velocidade fica:

Passo 3

Agora, vamos encontrar o vetor aceleração . A aceleração é a derivada do vetor velocidade em relação ao tempo .
A velocidade que encontramos é:
Vamos derivar cada componente em relação ao :
  • Derivada de em relação a é
  • Derivada de em relação a é
Então, o vetor aceleração fica:

Resposta

Os vetores velocidade e aceleração são, respectivamente:

Exercícios relacionados

a) Calcular o vetor onde é o vetor velocidade da partícula no instante .
Encontre as derivadas das seguintes funções:
o)
Determinar as componentes tangencial e normal da aceleração de uma partícula que se move no espaço, se seu vetor posição em um instante qualquer , for dado por:
Verifique se a função é contínua em em .