Resolva os problemas de valor inicial:
(d)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que temos aqui é um problema de valor inicial envolvendo uma equação diferencial do segundo grau: . A gente precisa encontrar a função que satisfaz essa equação e que também atende às condições iniciais e . Para resolver isso, vamos usar a teoria das equações diferenciais homogêneas com coeficientes constantes, que nos ajuda a encontrar soluções gerais para esse tipo de equação.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação característica associada à equação diferencial. A equação característica é obtida substituindo por e por 1, assim:
Resolvendo para :
Aqui, encontramos raízes complexas conjugadas e .

Passo 3

Com as raízes complexas , onde e , a solução geral da equação diferencial é dada por:
Substituindo e :

Passo 4

Agora, precisamos determinar as constantes e usando as condições iniciais. Primeiro, aplicamos :

Passo 5

Em seguida, encontramos a derivada de para aplicar a condição :
Aplicando :

Resposta

A solução do problema de valor inicial é:

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(e)