Resolva os problemas de valor inicial:
(d)
(d)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que temos aqui é um problema de valor inicial envolvendo uma equação diferencial do segundo grau:
. A gente precisa encontrar a função
que satisfaz essa equação e que também atende às condições iniciais
e
. Para resolver isso, vamos usar a teoria das equações diferenciais homogêneas com coeficientes constantes, que nos ajuda a encontrar soluções gerais para esse tipo de equação.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação característica associada à equação diferencial. A equação característica é obtida substituindo
por
e
por 1, assim:
Resolvendo para
:
Aqui, encontramos raízes complexas conjugadas
e
.
Passo 3
Com as raízes complexas
, onde
e
, a solução geral da equação diferencial é dada por:
Substituindo
e
:
Passo 4
Agora, precisamos determinar as constantes
e
usando as condições iniciais. Primeiro, aplicamos
:
Passo 5
Em seguida, encontramos a derivada de
para aplicar a condição
:
Aplicando
:
Resposta
A solução do problema de valor inicial é:
Exercícios relacionados
Verifique se a função
é contínua em em
.
Determinar as componentes tangencial e normal da aceleração de uma partícula que se move no espaço, se seu vetor posição em um instante qualquer
, for dado por:
Uma partícula move-se ao longo da curva
de modo que a componente horizontal da velocidade é sempre 2. Determinar as componentes tangencial e normal da aceleração, ilustrando geometricamente.
Resolva os problemas de valor inicial:
(e)
(e)