Determinar as componentes tangencial e normal da aceleração de uma partícula que se move no espaço, se seu vetor posição em um instante qualquer , for dado por:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem o vetor posição de uma partícula no tempo : . A parada é descobrir as componentes tangencial e normal da aceleração dessa partícula. Para isso, vamos precisar usar derivadas para achar velocidade e aceleração, além de entender como projetar a aceleração ao longo da direção da velocidade.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a velocidade da partícula. Isso significa derivar o vetor posição em relação ao tempo .

Passo 3

Agora, vamos encontrar a aceleração da partícula, derivando a velocidade em relação ao tempo .

Passo 4

Para achar a componente tangencial da aceleração, precisamos do vetor unitário tangente , que é a direção da velocidade. Primeiro, vamos calcular a magnitude da velocidade :
Então, o vetor unitário tangente é:

Passo 5

A componente tangencial da aceleração é o produto escalar entre a aceleração e o vetor unitário tangente :
Calculando o produto escalar:

Passo 6

Agora, vamos achar a componente normal . Sabemos que:
Primeiro, calculamos a magnitude da aceleração :
Agora, substituímos na fórmula:
Simplificando:

Resposta

As componentes da aceleração são:

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Uma partícula se move ao longo da curva , dada por . Determinar: as componentes tangencial e normal da aceleração.
Resolva as equações usando o método de variação dos parâmetros:
(d)
Reparametrizar pelo comprimento de arco as seguintes curvas: