Determinar as componentes tangencial e normal da aceleração de uma partícula que se move no espaço, se seu vetor posição em um instante qualquer
, for dado por:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem o vetor posição de uma partícula no tempo
:
. A parada é descobrir as componentes tangencial e normal da aceleração dessa partícula. Para isso, vamos precisar usar derivadas para achar velocidade e aceleração, além de entender como projetar a aceleração ao longo da direção da velocidade.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a velocidade
da partícula. Isso significa derivar o vetor posição
em relação ao tempo
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a aceleração
da partícula, derivando a velocidade
em relação ao tempo
.
Passo 4
Para achar a componente tangencial da aceleração, precisamos do vetor unitário tangente
, que é a direção da velocidade. Primeiro, vamos calcular a magnitude da velocidade
:
Então, o vetor unitário tangente é:
Passo 5
A componente tangencial da aceleração
é o produto escalar entre a aceleração
e o vetor unitário tangente
:
Calculando o produto escalar:
Passo 6
Agora, vamos achar a componente normal
. Sabemos que:
Primeiro, calculamos a magnitude da aceleração
:
Agora, substituímos na fórmula:
Simplificando:
Resposta
As componentes da aceleração são:
Exercícios relacionados
Uma partícula se move ao longo da curva
, dada por
. Determinar: as componentes tangencial e normal da aceleração.
Resolva as equações usando o método de variação dos parâmetros:
(d)
(d)
Reparametrizar pelo comprimento de arco as seguintes curvas: