Uma partícula se move ao longo da curva
, dada por
. Determinar: as componentes tangencial e normal da aceleração.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a questão pede é encontrar as componentes tangencial e normal da aceleração de uma partícula que se move ao longo de uma curva definida por
. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre vetores de posição, velocidade e aceleração, além de como decompor a aceleração nas direções tangencial e normal ao movimento.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a velocidade da partícula. A velocidade é a derivada do vetor de posição em relação ao tempo
. Então, derivando cada componente de
:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a aceleração da partícula, que é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
Passo 4
Para encontrar a componente tangencial da aceleração (
), precisamos projetar a aceleração na direção da velocidade. Isso é feito usando o produto escalar entre os vetores aceleração e velocidade, dividido pelo módulo da velocidade:
Primeiro, calculamos o produto escalar
:
Agora, calculamos o módulo da velocidade
:
Então, a componente tangencial fica:
Passo 5
Para encontrar a componente normal da aceleração (
), usamos a relação:
Primeiro, calculamos o módulo da aceleração
:
Agora, substituímos na fórmula de
:
Simplificando:
Fazendo os cálculos, obtemos:
Resposta
As componentes da aceleração são:
e