Uma partícula se move ao longo da curva C, dada por r(t) = t^2 i + t^3 j + k. Determinar: as componentes tangencial e normal da aceleração.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a questão pede é encontrar as componentes tangencial e normal da aceleração de uma partícula que se move ao longo de uma curva definida por . Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre vetores de posição, velocidade e aceleração, além de como decompor a aceleração nas direções tangencial e normal ao movimento.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a velocidade da partícula. A velocidade é a derivada do vetor de posição em relação ao tempo . Então, derivando cada componente de :

Passo 3

Agora, vamos encontrar a aceleração da partícula, que é a derivada da velocidade em relação ao tempo:

Passo 4

Para encontrar a componente tangencial da aceleração ( ), precisamos projetar a aceleração na direção da velocidade. Isso é feito usando o produto escalar entre os vetores aceleração e velocidade, dividido pelo módulo da velocidade:
Primeiro, calculamos o produto escalar :
Agora, calculamos o módulo da velocidade :
Então, a componente tangencial fica:

Passo 5

Para encontrar a componente normal da aceleração ( ), usamos a relação:
Primeiro, calculamos o módulo da aceleração :
Agora, substituímos na fórmula de :
Simplificando:
Fazendo os cálculos, obtemos:

Resposta

As componentes da aceleração são:
e

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