Reparametrizar pelo comprimento de arco as seguintes curvas:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para reparametrizar pelo comprimento de arco a curva dada por . Isso significa que vamos mudar a maneira como descrevemos a curva, usando o comprimento percorrido ao longo dela como parâmetro. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, como derivadas e integrais, e entender como calcular o comprimento de uma curva no espaço.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função vetorial em relação a . Isso nos dará a velocidade da curva em cada ponto.
Calculando cada componente:
Então,

Passo 3

Agora, vamos calcular a magnitude dessa derivada, que representa a velocidade escalar ao longo da curva. A fórmula para a magnitude de um vetor é:
Aplicando isso à nossa derivada:
Vamos simplificar cada termo:
Somando tudo:
Sabemos que , então:

Passo 4

Agora que temos , podemos encontrar a função comprimento de arco , que é a integral da velocidade escalar de um ponto inicial até :
Vamos assumir que para simplificar:

Passo 5

Agora, precisamos expressar em termos de . Temos:
Resolvendo para :

Passo 6

Finalmente, substituímos na função original para obter a parametrização pelo comprimento de arco:
Substituindo :

Resposta

A parametrização da curva pelo comprimento de arco é:

Exercícios relacionados

Determinar as componentes tangencial e normal da aceleração de uma partícula que se move no espaço, se seu vetor posição em um instante qualquer , for dado por:
Uma partícula se move ao longo da curva , dada por . Determinar: as componentes tangencial e normal da aceleração.