Reparametrizar pelo comprimento de arco as seguintes curvas:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para reparametrizar pelo comprimento de arco a curva dada por . Isso significa que vamos mudar a maneira como descrevemos a curva, usando o comprimento percorrido ao longo dela como parâmetro. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, como derivadas e integrais, e entender como calcular o comprimento de uma curva no espaço.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função vetorial
em relação a
. Isso nos dará a velocidade da curva em cada ponto.
Calculando cada componente:
Então,
Passo 3
Agora, vamos calcular a magnitude dessa derivada, que representa a velocidade escalar ao longo da curva. A fórmula para a magnitude de um vetor
é:
Aplicando isso à nossa derivada:
Vamos simplificar cada termo:
Somando tudo:
Sabemos que , então:
Passo 4
Agora que temos
, podemos encontrar a função comprimento de arco
, que é a integral da velocidade escalar de um ponto inicial
até
:
Vamos assumir que
para simplificar:
Passo 5
Agora, precisamos expressar
em termos de
. Temos:
Resolvendo para
:
Passo 6
Finalmente, substituímos
na função original
para obter a parametrização pelo comprimento de arco:
Substituindo
:
Resposta
A parametrização da curva pelo comprimento de arco é:
Exercícios relacionados
Determinar as componentes tangencial e normal da aceleração de uma partícula que se move no espaço, se seu vetor posição em um instante qualquer
, for dado por:
Uma partícula se move ao longo da curva
, dada por
. Determinar: as componentes tangencial e normal da aceleração.