Resolva as equações usando o método de variação dos parâmetros:
(d)
(d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando o método de variação dos parâmetros. A equação que temos é:
Vamos precisar encontrar a solução geral dessa equação, que envolve encontrar a solução da equação homogênea associada e uma solução particular.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea:
Essa é uma equação diferencial de Euler ou equação equidimensional, que tem a forma:
Para resolver, assumimos uma solução da forma
. Derivando, temos:
Substituindo na equação homogênea:
Simplificando:
Fatorando
:
Resolvendo a equação característica:
As soluções são:
Então, a solução geral da equação homogênea é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar uma solução particular
usando o método de variação dos parâmetros. A ideia é que a solução particular tenha a forma:
Onde
e
são funções que precisamos determinar.
Passo 4
Calculamos as derivadas de
:
Para simplificar os cálculos, impomos a condição:
Assim, as derivadas simplificam para:
Passo 5
Substituímos
,
e
na equação original:
Substituindo:
Simplificando:
Observamos que muitos termos se cancelam, restando:
Passo 6
Agora, temos um sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema. Da primeira equação:
Substituindo na segunda equação:
Cancelando
(assumindo
):
Integrando:
Ignoramos a constante
para a solução particular, então:
Usando
:
Integrando:
Usando integração por partes:
Então:
Passo 7
Agora, temos
e
:
Substituindo na expressão de
:
Simplificando:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Exercícios relacionados
Resolva os problemas de valor inicial:
(i)
(i)
Resolva as equações usando o método de variação dos parâmetros:
(e)
(e)
Uma partícula se move ao longo da curva
, dada por
. Determinar: as componentes tangencial e normal da aceleração.
Determinar as componentes tangencial e normal da aceleração de uma partícula que se move no espaço, se seu vetor posição em um instante qualquer
, for dado por: