Resolva as equações usando o método de variação dos parâmetros:
(d) y'' - 2/x y' + 2/x^2 y = x e^x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando o método de variação dos parâmetros. A equação que temos é:
Vamos precisar encontrar a solução geral dessa equação, que envolve encontrar a solução da equação homogênea associada e uma solução particular.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea:
Essa é uma equação diferencial de Euler ou equação equidimensional, que tem a forma:
Para resolver, assumimos uma solução da forma . Derivando, temos:
Substituindo na equação homogênea:
Simplificando:
Fatorando :
Resolvendo a equação característica:
As soluções são:
Então, a solução geral da equação homogênea é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar uma solução particular usando o método de variação dos parâmetros. A ideia é que a solução particular tenha a forma:
Onde e são funções que precisamos determinar.

Passo 4

Calculamos as derivadas de :
Para simplificar os cálculos, impomos a condição:
Assim, as derivadas simplificam para:

Passo 5

Substituímos , e na equação original:
Substituindo:
Simplificando:
Observamos que muitos termos se cancelam, restando:

Passo 6

Agora, temos um sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema. Da primeira equação:
Substituindo na segunda equação:
Cancelando (assumindo ):
Integrando:
Ignoramos a constante para a solução particular, então:
Usando :
Integrando:
Usando integração por partes:
Então:

Passo 7

Agora, temos e :
Substituindo na expressão de :
Simplificando:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

Exercícios relacionados