Determinar as componentes tangencial e normal da aceleração de uma partícula que se move no espaço, se seu vetor posição em um instante qualquer t, for dado por: r(t) = (5t, 2t^2 - 1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para encontrarmos as componentes tangencial e normal da aceleração de uma partícula que se movimenta no espaço. A gente vai precisar usar conceitos de cinemática vetorial, especificamente sobre aceleração em movimento curvilíneo. Primeiro, vamos identificar as funções de posição, calcular a velocidade e a aceleração, e depois decompor a aceleração nas partes que interessam.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar as componentes da posição da partícula em função do tempo. A posição é dada por:
Aqui, a primeira coordenada (5t) é a posição no eixo x, e a segunda coordenada é no eixo y.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a velocidade da partícula, que é a derivada da posição em relação ao tempo. Derivando cada componente:
Então, a velocidade tem componentes constantes no eixo x e que aumentam linearmente no eixo y.

Passo 4

Em seguida, vamos calcular a aceleração, que é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
A aceleração tem apenas componente no eixo y e é constante.

Passo 5

Para encontrar as componentes tangencial ( ) e normal ( ) da aceleração, precisamos primeiro entender que:
  • Aceleração tangencial está na direção da velocidade e representa a variação da rapidez.
  • Aceleração normal é perpendicular à velocidade e está relacionada à mudança na direção do movimento.
Vamos calcular e usando as fórmulas:

Passo 6

Primeiro, calculamos o produto escalar :
Agora, a magnitude da velocidade :
Então, a aceleração tangencial é:

Passo 7

Agora, calculamos a magnitude da aceleração :
Usando a fórmula de :

Resposta

As componentes da aceleração são:

Exercícios relacionados