Determinar as componentes tangencial e normal da aceleração de uma partícula que se move no espaço, se seu vetor posição em um instante qualquer
, for dado por:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema pede para encontrarmos as componentes tangencial e normal da aceleração de uma partícula que se movimenta no espaço. A gente vai precisar usar conceitos de cinemática vetorial, especificamente sobre aceleração em movimento curvilíneo. Primeiro, vamos identificar as funções de posição, calcular a velocidade e a aceleração, e depois decompor a aceleração nas partes que interessam.
Passo 2
Primeiro, vamos determinar as componentes da posição da partícula em função do tempo. A posição é dada por:
Aqui, a primeira coordenada (5t) é a posição no eixo x, e a segunda coordenada
é no eixo y.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a velocidade da partícula, que é a derivada da posição em relação ao tempo. Derivando cada componente:
Então, a velocidade tem componentes constantes no eixo x e que aumentam linearmente no eixo y.
Passo 4
Em seguida, vamos calcular a aceleração, que é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
A aceleração tem apenas componente no eixo y e é constante.
Passo 5
Para encontrar as componentes tangencial (
) e normal (
) da aceleração, precisamos primeiro entender que:
- Aceleração tangencial está na direção da velocidade e representa a variação da rapidez.
- Aceleração normal é perpendicular à velocidade e está relacionada à mudança na direção do movimento.
Vamos calcular
e
usando as fórmulas:
Passo 6
Primeiro, calculamos o produto escalar
:
Agora, a magnitude da velocidade
:
Então, a aceleração tangencial
é:
Passo 7
Agora, calculamos a magnitude da aceleração
:
Usando a fórmula de
:
Resposta
As componentes da aceleração são: