Determine se o campo é conservativo. Em caso afirmativo encontre um potencial.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se o campo vetorial
é conservativo. Se for, a gente também precisa achar um potencial para ele. Isso tudo está relacionado ao conteúdo de Campos Vetoriais Conservativos. Para resolver, vamos precisar entender um pouco sobre derivadas parciais e como verificar se um campo é conservativo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um campo conservativo. Um campo vetorial
é conservativo se ele pode ser escrito como o gradiente de uma função potencial
, ou seja,
. Isso significa que existe uma função
tal que:
Passo 3
Para verificar se o campo
é conservativo, usamos um critério simples: em duas dimensões, se as derivadas cruzadas satisfazem
, então o campo é conservativo.
Vamos identificar
e
no nosso campo:
Agora, calculamos as derivadas parciais:
Passo 4
Agora, comparamos as duas derivadas:
Vemos que
, já que uma é o negativo da outra.
Resposta
Como
não é igual a
, o campo
não é conservativo.
Exercícios relacionados
Uma partícula move-se no plano de modo que, no instante
, sua posição é dada por
. Calcular o raio de curvatura
da trajetória.
Mostrar que a curvatura de uma reta é nula.
Determine se o campo é conservativo. Em caso afirmativo encontre um potencial.
Determinar as componentes tangencial e normal da aceleração de uma partícula que se move no espaço, se seu vetor posição em um instante qualquer
, for dado por:
.