Determine se o campo é conservativo. Em caso afirmativo encontre um potencial.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se o campo vetorial é conservativo. Se for, a gente também precisa achar um potencial para ele. Isso tudo está relacionado ao conteúdo de Campos Vetoriais Conservativos. Para resolver, vamos precisar entender um pouco sobre derivadas parciais e como verificar se um campo é conservativo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um campo conservativo. Um campo vetorial é conservativo se ele pode ser escrito como o gradiente de uma função potencial , ou seja, . Isso significa que existe uma função tal que:

Passo 3

Para verificar se o campo é conservativo, usamos um critério simples: em duas dimensões, se as derivadas cruzadas satisfazem , então o campo é conservativo.
Vamos identificar e no nosso campo:
Agora, calculamos as derivadas parciais:

Passo 4

Agora, comparamos as duas derivadas:
Vemos que , já que uma é o negativo da outra.

Resposta

Como não é igual a , o campo não é conservativo.

Exercícios relacionados

Uma partícula move-se no plano de modo que, no instante , sua posição é dada por . Calcular o raio de curvatura da trajetória.
Mostrar que a curvatura de uma reta é nula.
Determine se o campo é conservativo. Em caso afirmativo encontre um potencial.
Determinar as componentes tangencial e normal da aceleração de uma partícula que se move no espaço, se seu vetor posição em um instante qualquer , for dado por: .