Determine se o campo é conservativo. Em caso afirmativo encontre um potencial.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar se o campo vetorial é conservativo. Se for, também precisamos achar um potencial para ele. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especialmente sobre campos conservativos e potenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um campo conservativo. Um campo vetorial é conservativo se ele pode ser escrito como o gradiente de alguma função escalar
. Isso significa que
. Uma condição importante para que isso aconteça é que o rotacional do campo vetorial seja zero.
Passo 3
O rotacional de um campo vetorial
em duas dimensões é dado por:
Vamos calcular essas derivadas parciais para o nosso campo.
Passo 4
Identificando
e
no nosso campo:
Agora, calculamos as derivadas:
Passo 5
Substituindo na fórmula do rotacional:
Como o rotacional é zero, o campo
é conservativo.
Passo 6
Agora que sabemos que o campo é conservativo, vamos encontrar a função potencial
tal que
. Isso significa que:
Vamos integrar
em relação a
para começar.
Passo 7
Integrando em relação a
:
Aqui,
é uma função que depende apenas de
, pois a integração em relação a
pode incluir uma “constante” que depende de
.
Passo 8
Agora, vamos derivar
em relação a
e igualar a
:
Comparando os termos, temos:
Passo 9
Integrando
em relação a
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 10
Finalmente, substituindo
de volta na função
:
Essa é a função potencial do campo
.
Resposta
O campo é conservativo e um potencial é dado por: