Determine se o campo é conservativo. Em caso afirmativo encontre um potencial.
F(x, y) = (2 x sen(y) + 4) i + (x^2 cos(y) + 2) j

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar se o campo vetorial é conservativo. Se for, também precisamos achar um potencial para ele. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especialmente sobre campos conservativos e potenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um campo conservativo. Um campo vetorial é conservativo se ele pode ser escrito como o gradiente de alguma função escalar . Isso significa que . Uma condição importante para que isso aconteça é que o rotacional do campo vetorial seja zero.

Passo 3

O rotacional de um campo vetorial em duas dimensões é dado por:
Vamos calcular essas derivadas parciais para o nosso campo.

Passo 4

Identificando e no nosso campo:
Agora, calculamos as derivadas:

Passo 5

Substituindo na fórmula do rotacional:
Como o rotacional é zero, o campo é conservativo.

Passo 6

Agora que sabemos que o campo é conservativo, vamos encontrar a função potencial tal que . Isso significa que:
Vamos integrar em relação a para começar.

Passo 7

Integrando em relação a :
Aqui, é uma função que depende apenas de , pois a integração em relação a pode incluir uma “constante” que depende de .

Passo 8

Agora, vamos derivar em relação a e igualar a :
Comparando os termos, temos:

Passo 9

Integrando em relação a :
Onde é a constante de integração.

Passo 10

Finalmente, substituindo de volta na função :
Essa é a função potencial do campo .

Resposta

O campo é conservativo e um potencial é dado por:

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