Determinar o comprimento de arco das seguintes curvas: um arco da ciclóide r(t) = 2(t - sen(t)) * i + 2(1 - cos(t)).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para encontrar o comprimento de arco de uma ciclóide dada pela função vetorial . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente a fórmula para comprimento de arco de curvas paramétricas.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar como calcular o comprimento de arco para funções paramétricas. Se tivermos uma curva definida por , o comprimento de arco S entre e é dado por:
Então, nosso objetivo é encontrar e .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas de x(t) e y(t):
    • Então,
    • Então,

Passo 4

Agora, substituímos essas derivadas na fórmula do comprimento de arco:

Passo 5

Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Usando a identidade trigonométrica , temos:

Passo 6

A expressão dentro da raiz agora é:
Como é não negativo no intervalo considerado, podemos simplificar para:

Passo 7

Agora, integramos a função simplificada:
Simplificando:

Resposta

O comprimento de arco do arco da ciclóide é:

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