Determinar o comprimento de arco das seguintes curvas: um arco da ciclóide .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para encontrar o comprimento de arco de uma ciclóide dada pela função vetorial . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente a fórmula para comprimento de arco de curvas paramétricas.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar como calcular o comprimento de arco para funções paramétricas. Se tivermos uma curva definida por , o comprimento de arco entre e é dado por:
Então, nosso objetivo é encontrar e .
Passo 3
Vamos calcular as derivadas de e :
Então,
Então,
Passo 4
Agora, substituímos essas derivadas na fórmula do comprimento de arco:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Usando a identidade trigonométrica , temos:
Passo 6
A expressão dentro da raiz agora é:
Como é não negativo no intervalo considerado, podemos simplificar para: