Se e
determinar:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para a gente encontrar a derivada do produto escalar entre duas funções vetoriais, e . Isso envolve conceitos de cálculo vetorial, especificamente o produto escalar e a derivada de funções vetoriais. Vamos precisar entender como calcular o produto escalar e depois aplicar a regra da derivada.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções vetoriais fornecidas:
e
Aqui, , e são os vetores unitários nas direções dos eixos x, y e z, respectivamente.

Passo 3

Agora, vamos calcular o produto escalar . O produto escalar de dois vetores é dado pela soma dos produtos das componentes correspondentes:
Note que a componente de é zero, então multiplicamos por zero.

Passo 4

Vamos simplificar a expressão:
Portanto, o produto escalar é igual a zero para todo valor de .

Passo 5

Agora, queremos encontrar a derivada desse produto escalar em relação a :
A derivada de uma constante (neste caso, zero) é sempre zero.

Resposta

A derivada do produto escalar é igual a zero:

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Se e
determinar:
Se e
determinar:
Determinar o comprimento de arco das seguintes curvas: um arco da ciclóide .
Verifique a convergência ou divergência das seguintes séries: