Se
e
determinar:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema pede para a gente encontrar a derivada do produto escalar entre duas funções vetoriais,
e
. Isso envolve conceitos de cálculo vetorial, especificamente o produto escalar e a derivada de funções vetoriais. Vamos precisar entender como calcular o produto escalar e depois aplicar a regra da derivada.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as funções vetoriais fornecidas:
e
Aqui,
,
e
são os vetores unitários nas direções dos eixos x, y e z, respectivamente.
Passo 3
Agora, vamos calcular o produto escalar
. O produto escalar de dois vetores é dado pela soma dos produtos das componentes correspondentes:
Note que a componente
de
é zero, então multiplicamos
por zero.
Passo 4
Vamos simplificar a expressão:
Portanto, o produto escalar é igual a zero para todo valor de
.
Passo 5
Agora, queremos encontrar a derivada desse produto escalar em relação a
:
A derivada de uma constante (neste caso, zero) é sempre zero.
Resposta
A derivada do produto escalar é igual a zero:
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Se
e
determinar:
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Determinar o comprimento de arco das seguintes curvas: um arco da ciclóide
.
Verifique a convergência ou divergência das seguintes séries: