Se f(t) = t*i + t^2*j + t^3*k e
g(t) = t^2 j - t k
determinar:
(f(t) * g(t))'

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para a gente encontrar a derivada do produto escalar entre duas funções vetoriais, f(t) e . Isso envolve conceitos de cálculo vetorial, especificamente o produto escalar e a derivada de funções vetoriais. Vamos precisar entender como calcular o produto escalar e depois aplicar a regra da derivada.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções vetoriais fornecidas:
e
Aqui, i, j e k são os vetores unitários nas direções dos eixos x, y e z, respectivamente.

Passo 3

Agora, vamos calcular o produto escalar f(t) . g(t). O produto escalar de dois vetores é dado pela soma dos produtos das componentes correspondentes:
Note que a componente i de é zero, então multiplicamos t por zero.

Passo 4

Vamos simplificar a expressão:
Portanto, o produto escalar é igual a zero para todo valor de t.

Passo 5

Agora, queremos encontrar a derivada desse produto escalar em relação a t:
A derivada de uma constante (neste caso, zero) é sempre zero.

Resposta

A derivada do produto escalar é igual a zero:

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