Verifique a convergência ou divergência das seguintes séries:
Passo 1
Beleza, vamos analisar a série que a gente tem aqui: . O assunto principal é convergência de séries, que é uma parte da cálculo de séries infinitas. Para resolver isso, vamos precisar entender como comparar os termos da série com outras séries conhecidas e usar alguns testes de convergência, como o Teste da Razão.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma série é dita convergente se a soma dos seus termos tende a um número finito quando o número de termos vai para o infinito. Caso contrário, a série diverge.
Nossa série é . Observamos que temos um fatorial no numerador, , que cresce muito rápido conforme aumenta. No denominador, temos um termo exponencial, , e um termo linear, .
Para analisar a convergência, vamos usar o Teste da Razão, que é bastante útil para séries com fatoriais ou exponentes. O teste diz que se o limite for maior que 1, a série diverge; se for menor que 1, a série converge; e se for igual a 1, o teste é inconclusivo.
Vamos calcular o limite:
Então,
Agora, vamos calcular :
Simplificando os fatoriais:
Agora, vamos calcular o limite quando tende ao infinito:
Como é maior que 1, pelo Teste da Razão, a série diverge.