Verifique a convergência ou divergência das seguintes séries: sumn=1^infty (n+1)!6^n n

Passo 1

Beleza, vamos analisar a série que a gente tem aqui: sumn=1^infty (n+1)!6^n , n. O assunto principal é convergência de séries, que é uma parte da cálculo de séries infinitas. Para resolver isso, vamos precisar entender como comparar os termos da série com outras séries conhecidas e usar alguns testes de convergência, como o Teste da Razão.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma série é dita convergente se a soma dos seus termos tende a um número finito quando o número de termos vai para o infinito. Caso contrário, a série diverge.
Nossa série é sumn=1^infty (n+1)!6^n , n. Observamos que temos um fatorial no numerador, (n+1)!, que cresce muito rápido conforme an = (n+1)!6^n , n aumenta. No denominador, temos um termo exponencial, an+1 = (n+2)!6^n+1 , (n+1) , e um termo linear, an+1an = (n+2)!6^n+1 , (n+1) times 6^n , n(n+1)! .
Para analisar a convergência, vamos usar o Teste da Razão, que é bastante útil para séries com fatoriais ou exponentes. O teste diz que se o limite an+1an = (n+2) times (n+1)!6 times 6^n , (n+1) times 6^n , n(n+1)! = n+26 times nn+1 = (n+2)n6(n+1) for maior que 1, a série diverge; se for menor que 1, a série converge; e se for igual a 1, o teste é inconclusivo.
Vamos calcular o limite:
L = limn to infty (n+2)n6(n+1) = limn to infty n^2 + 2n6n + 6 = limn to infty n^26n = limn to infty n6 = infty
Então,
Agora, vamos calcular :
Simplificando os fatoriais:
Agora, vamos calcular o limite quando tende ao infinito:
Como é maior que 1, pelo Teste da Razão, a série diverge.

Resposta

A série sumn=1^infty (n+1)!6^n , n diverge.

Exercícios relacionados