Verifique a convergência ou divergência das seguintes séries: sumn=0^infty n^54 n^5+2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se a série sumn=0^infty n^54 n^5+2 converge ou diverge. Estamos lidando com séries numéricas, especificamente analisando o comportamento dos termos conforme cresce. Para resolver isso, vamos precisar conhecer alguns testes de convergência, como o Teste da Limite ou o Teste da Comparação.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada no termo geral da série, que é . Nosso objetivo é entender o que acontece com esse termo à medida que tende ao infinito. Isso vai nos ajudar a decidir qual teste de convergência usar.

Passo 3

Vamos simplificar o termo observando os termos de maior grau no numerador e no denominador. No numerador, temos n^54 n^5 + 2 = 14 + 2n^5 e no denominador . Para simplificar, dividimos tanto o numerador quanto o denominador por :

Passo 4

Agora, vamos analisar o limite desse termo quando limn to infty 14 + 2n^5 = 14 + 0 = 14 tende ao infinito:

Passo 5

O limite do termo geral da série é , que é diferente de zero. Segundo o Teste da Divergência (ou Teste do Termo Geral), se o limite do termo geral não for zero, a série não converge.

Resposta

A série sumn=0^infty n^54 n^5+2 diverge.

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