Uma partícula se move no espaço com vetor posição
. Determinar a velocidade e a aceleração da partícula em um instante
qualquer. Esboçar a trajetória da partícula e os vetores velocidade e aceleração para os valores indicados de
.
a)
b)
c)
d)
.
a)
b)
c)
d)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente vai resolver uma questão de movimento de partículas no espaço. O que precisamos aqui é encontrar a velocidade e a aceleração da partícula em instantes específicos de tempo. Para isso, vamos usar o conceito de derivadas das funções que descrevem a posição da partícula em relação ao tempo. As fórmulas que vamos usar são:
- Velocidade:
- Aceleração:
Vamos resolver cada parte do exercício passo a passo.
Letra a)
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a velocidade da partícula derivando a posição em relação ao tempo.
Então, a velocidade é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a aceleração derivando a velocidade em relação ao tempo.
Portanto, a aceleração é constante:
Passo 4
Vamos calcular os valores em
e
.
-
Para
: -
Para
:
Passo 5
Sobre o esboço da trajetória e os vetores, como estamos em um ambiente de texto, vou descrever:
-
Trajetória: A partícula move-se ao longo de uma curva que combina o eixo
e , já que a componente ( ) é constante ( ). No eixo , ela se move linearmente com o tempo, e no eixo , ela se move de forma parabólica devido ao termo . -
Vetores de velocidade e aceleração:
- Em
, a velocidade aponta na direção positiva de e a aceleração aponta para baixo no eixo . - Em
, a velocidade ainda tem componente positiva no e agora também tem uma componente negativa no , indicando que está diminuindo a posição . A aceleração continua apontando para baixo no eixo .
- Em
Passo 6
Vamos começar pelas derivadas.
Velocidade:
Então,
Aceleração:
Portanto,
Passo 7
Calculando para
e
:
-
Para
: -
Para
:
Passo 8
Trajetória e Vetores:
-
Trajetória: A partícula se move ao longo do eixo
, já que a componente ( ) é constante ( ). A posição diminui à medida que aumenta, já que diminui com o tempo. -
Vetores de velocidade e aceleração:
- Em
, a velocidade aponta para a esquerda ( ) com magnitude e a aceleração aponta para a direita ( ) com a mesma magnitude. - Em
, a velocidade ainda aponta para a esquerda, mas com menor intensidade ( ), e a aceleração continua apontando para a direita com menor magnitude ( ).
- Em
Passo 9
Vamos derivar para encontrar velocidade e aceleração.
Velocidade:
Aceleração:
Passo 10
Calculando para
e
:
-
Para
: -
Para
:
Passo 11
Trajetória e Vetores:
-
Trajetória: A partícula move-se no plano formado pelos eixos
e . No eixo , ela se move de forma quadrática, e no eixo , de forma muito mais rápida devido ao termo . -
Vetores de velocidade e aceleração:
- Em
, a velocidade é nula e a aceleração aponta na direção positiva de . - Em
, a velocidade tem componentes positivas em e , e a aceleração tem uma componente constante em e uma grande componente em .
- Em
Passo 12
Derivando para encontrar velocidade e aceleração.
Velocidade:
Aceleração:
A aceleração é nula, indicando movimento com velocidade constante.
Passo 13
Calculando para
e
:
-
Para
: -
Para
:
Passo 14
Trajetória e Vetores:
-
Trajetória: A partícula está se movendo em linha reta no plano
. A componente diminui linearmente com o tempo, enquanto a componente aumenta linearmente, formando uma trajetória diagonal. -
Vetores de velocidade e aceleração:
- A velocidade é constante e aponta na direção de
, ou seja, para o noroeste. - Não há aceleração, já que a velocidade não está mudando.
- A velocidade é constante e aponta na direção de
Resposta
Para a letra d), tanto em
quanto em
:
Exercícios relacionados
Determinar a derivada das seguintes funções vetoriais:
a)
b)
c)
d)
a)
b)
c)
d)
Indicar os intervalos de continuidade das seguintes funções vetoriais:
a) em
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h) .
c)
d)
e)
f)
g)
h)
Sejam
e
dois vetores constantes. Determinar o vetor velocidade da partícula cujo movimento é descrito por:
a)
b) .
a)
b)
Determinar o comprimento de arco das seguintes curvas:
a)
b)
c)
d) de
a
e)
f) hélice circular sent
de
a
g) um arco da ciclóide
h) para
i) para
j) para
k) .
a)
b)
c)
d)
e)
f) hélice circular
g) um arco da ciclóide
h)
i)
j)
k)