Uma partícula se move no espaço com vetor posição . Determinar a velocidade e a aceleração da partícula em um instante qualquer. Esboçar a trajetória da partícula e os vetores velocidade e aceleração para os valores indicados de .
a)
b)
c)
d) .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente vai resolver uma questão de movimento de partículas no espaço. O que precisamos aqui é encontrar a velocidade e a aceleração da partícula em instantes específicos de tempo. Para isso, vamos usar o conceito de derivadas das funções que descrevem a posição da partícula em relação ao tempo. As fórmulas que vamos usar são:
  • Velocidade:
  • Aceleração:
Vamos resolver cada parte do exercício passo a passo.

Letra a)

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a velocidade da partícula derivando a posição em relação ao tempo.
Então, a velocidade é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a aceleração derivando a velocidade em relação ao tempo.
Portanto, a aceleração é constante:

Passo 4

Vamos calcular os valores em e .
  • Para :
  • Para :

Passo 5

Sobre o esboço da trajetória e os vetores, como estamos em um ambiente de texto, vou descrever:
  • Trajetória: A partícula move-se ao longo de uma curva que combina o eixo e , já que a componente ( ) é constante ( ). No eixo , ela se move linearmente com o tempo, e no eixo , ela se move de forma parabólica devido ao termo .
  • Vetores de velocidade e aceleração:
    • Em , a velocidade aponta na direção positiva de e a aceleração aponta para baixo no eixo .
    • Em , a velocidade ainda tem componente positiva no e agora também tem uma componente negativa no , indicando que está diminuindo a posição . A aceleração continua apontando para baixo no eixo .

Passo 6

Vamos começar pelas derivadas.
Velocidade:
Então,
Aceleração:
Portanto,

Passo 7

Calculando para e :
  • Para :
  • Para :

Passo 8

Trajetória e Vetores:
  • Trajetória: A partícula se move ao longo do eixo , já que a componente ( ) é constante ( ). A posição diminui à medida que aumenta, já que diminui com o tempo.
  • Vetores de velocidade e aceleração:
    • Em , a velocidade aponta para a esquerda ( ) com magnitude e a aceleração aponta para a direita ( ) com a mesma magnitude.
    • Em , a velocidade ainda aponta para a esquerda, mas com menor intensidade ( ), e a aceleração continua apontando para a direita com menor magnitude ( ).

Passo 9

Vamos derivar para encontrar velocidade e aceleração.
Velocidade:
Aceleração:

Passo 10

Calculando para e :
  • Para :
  • Para :

Passo 11

Trajetória e Vetores:
  • Trajetória: A partícula move-se no plano formado pelos eixos e . No eixo , ela se move de forma quadrática, e no eixo , de forma muito mais rápida devido ao termo .
  • Vetores de velocidade e aceleração:
    • Em , a velocidade é nula e a aceleração aponta na direção positiva de .
    • Em , a velocidade tem componentes positivas em e , e a aceleração tem uma componente constante em e uma grande componente em .

Passo 12

Derivando para encontrar velocidade e aceleração.
Velocidade:
Aceleração:
A aceleração é nula, indicando movimento com velocidade constante.

Passo 13

Calculando para e :
  • Para :
  • Para :

Passo 14

Trajetória e Vetores:
  • Trajetória: A partícula está se movendo em linha reta no plano . A componente diminui linearmente com o tempo, enquanto a componente aumenta linearmente, formando uma trajetória diagonal.
  • Vetores de velocidade e aceleração:
    • A velocidade é constante e aponta na direção de , ou seja, para o noroeste.
    • Não há aceleração, já que a velocidade não está mudando.

Resposta

Para a letra d), tanto em quanto em :

Exercícios relacionados

Determinar a derivada das seguintes funções vetoriais:
a)
b)
c)
d)
Indicar os intervalos de continuidade das seguintes funções vetoriais:
a) em
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h) .
Sejam e dois vetores constantes. Determinar o vetor velocidade da partícula cujo movimento é descrito por:
a)
b) .
Determinar o comprimento de arco das seguintes curvas:
a)
b)
c)
d) de a
e)
f) hélice circular sent de a
g) um arco da ciclóide
h) para
i) para
j) para
k) .