Sejam
e
dois vetores constantes. Determinar o vetor velocidade da partícula cujo movimento é descrito por:
a)
b)
.
a)
b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre vetores constantes
e
e nos pede para determinar o vetor velocidade de uma partícula cujo movimento é descrito de duas maneiras diferentes. Vamos precisar entender um pouco de cálculo vetorial, principalmente derivadas e integrais de vetores, pra resolver isso.
Passo 2
Parte a)
Aqui, a segunda derivada da posição da partícula em relação ao tempo,
, é dada por
. A segunda derivada é a aceleração, então precisamos integrar a aceleração para achar a velocidade.
Passo 3
Primeiro, vamos lembrar que a velocidade é a integral da aceleração em relação ao tempo. Ou seja:
Substituindo a aceleração:
Passo 4
Agora, integramos termo a termo:
Onde
é a constante de integração, que pode representar a velocidade inicial
.
Passo 5
Então, a expressão final para o vetor velocidade na parte a) é:
Passo 6
Parte b)
Aqui, a derivada da posição em relação ao tempo, que já é a velocidade
, é dada por
. Como já temos a expressão da velocidade, não precisamos integrar. Porém, se quisermos expressar de forma mais simplificada ou encontrar a velocidade em um ponto específico, podemos fazer isso direto.
Passo 7
A expressão para o vetor velocidade na parte b) é simplesmente:
Resposta
a)
b)
Exercícios relacionados
Uma partícula se move no espaço com vetor posição
. Determinar a velocidade e a aceleração da partícula em um instante
qualquer. Esboçar a trajetória da partícula e os vetores velocidade e aceleração para os valores indicados de
.
a)
b)
c)
d) .
a)
b)
c)
d)
Determinar a derivada das seguintes funções vetoriais:
a)
b)
c)
d)
a)
b)
c)
d)
Determinar o comprimento de arco das seguintes curvas:
a)
b)
c)
d) de
a
e)
f) hélice circular sent
de
a
g) um arco da ciclóide
h) para
i) para
j) para
k) .
a)
b)
c)
d)
e)
f) hélice circular
g) um arco da ciclóide
h)
i)
j)
k)
Determinar uma equação para a reta normal à curva dada, nos pontos indicados: