Sejam e dois vetores constantes. Determinar o vetor velocidade da partícula cujo movimento é descrito por:
a)
b) .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre vetores constantes e e nos pede para determinar o vetor velocidade de uma partícula cujo movimento é descrito de duas maneiras diferentes. Vamos precisar entender um pouco de cálculo vetorial, principalmente derivadas e integrais de vetores, pra resolver isso.

Passo 2

Parte a)
Aqui, a segunda derivada da posição da partícula em relação ao tempo, , é dada por . A segunda derivada é a aceleração, então precisamos integrar a aceleração para achar a velocidade.

Passo 3

Primeiro, vamos lembrar que a velocidade é a integral da aceleração em relação ao tempo. Ou seja:
Substituindo a aceleração:

Passo 4

Agora, integramos termo a termo:
Onde é a constante de integração, que pode representar a velocidade inicial .

Passo 5

Então, a expressão final para o vetor velocidade na parte a) é:

Passo 6

Parte b)
Aqui, a derivada da posição em relação ao tempo, que já é a velocidade , é dada por . Como já temos a expressão da velocidade, não precisamos integrar. Porém, se quisermos expressar de forma mais simplificada ou encontrar a velocidade em um ponto específico, podemos fazer isso direto.

Passo 7

A expressão para o vetor velocidade na parte b) é simplesmente:

Resposta

a)
b)

Exercícios relacionados

Uma partícula se move no espaço com vetor posição . Determinar a velocidade e a aceleração da partícula em um instante qualquer. Esboçar a trajetória da partícula e os vetores velocidade e aceleração para os valores indicados de .
a)
b)
c)
d) .
Determinar a derivada das seguintes funções vetoriais:
a)
b)
c)
d)
Determinar o comprimento de arco das seguintes curvas:
a)
b)
c)
d) de a
e)
f) hélice circular sent de a
g) um arco da ciclóide
h) para
i) para
j) para
k) .
Determinar uma equação para a reta normal à curva dada, nos pontos indicados: