Determinar o comprimento da curva alpha dada em forma paramétrica por x=t, y=2t com t em [0,1].

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o comprimento da curva alpha que está definida pelas equações paramétricas e , onde t varia de 0 a 1. Isso está dentro do conteúdo de Cálculo, especificamente no tópico de cálculo de comprimento de curvas paramétricas. Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula para o comprimento de uma curva paramétrica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular o comprimento de uma curva parametrizada por x(t) e y(t) no intervalo a <= t <= b. A fórmula é:
Essa fórmula basicamente soma todas as pequenas partes do comprimento da curva.

Passo 3

Agora, vamos identificar x(t) e y(t) no nosso caso:
Precisamos calcular as derivadas dessas funções em relação a t.

Passo 4

Calculando as derivadas:

Passo 5

Substituindo essas derivadas na fórmula do comprimento:

Passo 6

Como raiz(5) é uma constante, podemos tirar ela da integral:

Resposta

O comprimento da curva alpha é raiz(5) unidades.

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