Determinar o comprimento da curva
dada em forma paramétrica por
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o comprimento da curva
que está definida pelas equações paramétricas
e
, onde
varia de 0 a 1. Isso está dentro do conteúdo de Cálculo, especificamente no tópico de cálculo de comprimento de curvas paramétricas. Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula para o comprimento de uma curva paramétrica.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular o comprimento de uma curva parametrizada por
e
no intervalo
. A fórmula é:
Essa fórmula basicamente soma todas as pequenas partes do comprimento da curva.
Passo 3
Agora, vamos identificar
e
no nosso caso:
Precisamos calcular as derivadas dessas funções em relação a
.
Passo 4
Calculando as derivadas:
Passo 5
Substituindo essas derivadas na fórmula do comprimento:
Passo 6
Como
é uma constante, podemos tirar ela da integral:
Resposta
O comprimento da curva
é
unidades.
Exercícios relacionados
Encontre o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo
, da região limitada pela curva
e as retas
e
.
Encontre a série de Taylor de
centrada no valor dado de
. Ache o raio de convergência
Resolva as integral abaixo por frações parciais.
Exercício 2.24. Se
, determine o ponto do plano de equação
em que
tem seu menor valor.