Exercício 2.24. Se f(x, y, z) = 4 x^2 + y^2 + 5 z^2, determine o ponto do plano de equação 2x + 3y + 4z = 12 em que f(x, y, z) tem seu menor valor.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um problema de otimização onde queremos encontrar o ponto no plano definido pela equação que faz a função ser a menor possível. Isso envolve conceitos de cálculo multivariável, especificamente a técnica dos multiplicadores de Lagrange, que ajuda a otimizar uma função sujeita a uma restrição.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são multiplicadores de Lagrange. É uma ferramenta que nos permite encontrar os extremos (mínimos ou máximos) de uma função sujeita a uma restrição . No nosso caso, a restrição é o plano .
A ideia é criar uma nova função chamada Lagrangiana, que combina e com um multiplicador, geralmente chamado de :

Passo 3

Vamos montar a Lagrangiana com os valores do nosso problema:

Passo 4

Agora, precisamos encontrar as derivadas parciais da Lagrangiana em relação a , , e e igualá-las a zero. Essas equações vão nos ajudar a encontrar os pontos onde a função é otimizada sob a restrição:

Passo 5

Vamos resolver essas equações passo a passo. Da equação (1):
Da equação (2):
Da equação (3):

Passo 6

Agora, igualamos as expressões para obtidas nas equações (1a), (2a) e (3a):

Passo 7

Com e , vamos substituir esses valores na equação da restrição (4):

Passo 8

Para resolver, vamos unificar os termos:
Agora, isolando :

Passo 9

Com , calculamos e :

Resposta

O ponto onde atinge seu menor valor no plano é .

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