Exercício 2.24. Se
, determine o ponto do plano de equação
em que
tem seu menor valor.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um problema de otimização onde queremos encontrar o ponto no plano definido pela equação
que faz a função
ser a menor possível. Isso envolve conceitos de cálculo multivariável, especificamente a técnica dos multiplicadores de Lagrange, que ajuda a otimizar uma função sujeita a uma restrição.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são multiplicadores de Lagrange. É uma ferramenta que nos permite encontrar os extremos (mínimos ou máximos) de uma função
sujeita a uma restrição
. No nosso caso, a restrição é o plano
.
A ideia é criar uma nova função chamada Lagrangiana, que combina
e
com um multiplicador, geralmente chamado de
:
Passo 3
Vamos montar a Lagrangiana com os valores do nosso problema:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar as derivadas parciais da Lagrangiana em relação a
,
,
e
e igualá-las a zero. Essas equações vão nos ajudar a encontrar os pontos onde a função
é otimizada sob a restrição:
Passo 5
Vamos resolver essas equações passo a passo. Da equação (1):
Da equação (2):
Da equação (3):
Passo 6
Agora, igualamos as expressões para
obtidas nas equações (1a), (2a) e (3a):
Passo 7
Com
e
, vamos substituir esses valores na equação da restrição (4):
Passo 8
Para resolver, vamos unificar os termos:
Agora, isolando
:
Passo 9
Com
, calculamos
e
:
Resposta
O ponto onde
atinge seu menor valor no plano
é
.
Exercícios relacionados
Resolva as integral abaixo por frações parciais.
Determinar o comprimento da curva
dada em forma paramétrica por
.
Exercício 2.23. Use os multiplicadores de Lagrange para determinar os extremos de
sujeitos aos vínculos indicados.
(b) sujeito ao vínculo
;
(b)
Resolva as equações diferenciais exibindo as devidas passagens algébricas.